Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

Затем вы просто выбираете соответствующее количество румбов между изначально запланированным курсом и “обратным” курсом, который вы собираетесь взять, и узнаете, какое расстояние необходимо пройти по нему. Наконец, toleta показывает, сколько миль останется пройти по изначально запланированному курсу, когда вы на него вернетесь.

Toleta de marteloio

Простая toleta de marteloio, помогающая морякам корректировать курс

Мы прошли 75 миль на юг, отклоняясь на два румба от идеального курса. С помощью toleta мы узнаем, что находимся в 75/100 × 38 = 28,5 мили в стороне от курса[46]. Мы пойдем обратно (на изначально запланированный курс), отклоняясь от идеального курса на 4 румба. Сколько миль нам нужно пройти в этом направлении? Ответ: 28,5 ÷ 10 × 14 = 40 миль. Так мы окажемся в точке, где сможем взять изначальный идеальный курс, чтобы преодолеть остаток расстояния до Ираклиона.

Прокладка маршрута из Афин в Ираклион с помощью румбов и toleta de marteloio

Итак, если теперь все хорошо, мы прошли 75 миль на юг, затем 40 миль на восток-юго-восток, после чего нам остается пройти 114,5 мили на юго-юго-восток. Если такой возможности нет, нам придется повторить процесс снова. Нам остается лишь следить за своими перемещениями по карте, остерегаться мелководий, где судно может сесть на мель, и стараться сделать так, чтобы путешествие не затянулось и на борту не исчерпались запасы продовольствия и пресной воды.

Составление карт

Эти тригонометрические трюки и таблицы занимали такое важное место в инструментарии мореходов, что стали прекрасным источником дохода для предприимчивых преподавателей, которые открывали школы для моряков или писали учебники. Самые ушлые занимались и тем, и другим: набирали учеников и обязывали каждого из них купить написанный учителем учебник. Французский математик Гийом Дени так умело монетизировал свое знание геометрии, что открыл школу навигации в Дьепе. У него учились новобранцы французского флота, независимые моряки и даже пираты. Королевская школа гидрографии Дени была лишь одним из многих подобных европейских институтов, работавших в XVI и XVII веках. Хотя за моряками закрепилась репутация безграмотных невежественных грубиянов, многие из них, несмотря на это, прекрасно разбирались в математике.

Впрочем, им стоило понимать, что их возможности были не безграничны. Геометрия плоских треугольников, подходящая для средиземноморских портуланов, не работала в более долгих путешествиях. Поскольку Земля имеет (приблизительно) сферическую форму, ее поверхность изгибается и треугольники меняются. Чтобы понять, как именно это происходит, прочертите на шкурке апельсина три прямые линии, формирующие треугольник, а затем почистите апельсин. Треугольник получился не совсем ровным, ведь так? Его стороны выгнулись, а если вычислить сумму трех его углов, она окажется больше 180°, характерных для плоского треугольника. Следовательно, если вы будете двигаться по океану, придерживаясь одного направления по компасу, на поверхности Земли ваш маршрут окажется вовсе не прямой линией. Вы будете перемещаться по так называемой локсодромии: спирали, которая закручивается вокруг земного шара, неизменно пересекая идущие с севера на юг меридианы под одинаковым углом.

Придерживаясь одного направления по компасу, вы будете огибать земной шар по локсодромии

Это значит, что даже если мне известно направление по компасу на Бристоль в Англии из Нью-Йорка в США, это не самый короткий морской путь от одного города к другому. Мне нужно выбрать кратчайшее расстояние между точками на сфере: окружности, на которой лежат обе точки и центр которой находится в центре земного шара. В навигации по поверхности Земли ее называют “большим кругом”.

Теперь представьте, что мы планируем пройти по большому кругу от Нью-Йорка до Бристоля и запасаемся провиантом для этого плавания[47]. Чтобы определить, какое расстояние нам необходимо преодолеть, нам нужно представить сферический треугольник, в одном из углов которого находится Нью-Йорк, во втором – Бристоль, а в третьем – Северный полюс. Если нам известно, на какой широте находятся Нью-Йорк и Бристоль (то есть насколько они выше или ниже экватора), мы можем вычислить расстояние между ними с помощью стандартной тригонометрии. Но это долгий и трудоемкий процесс. Для этого необходимо представить целый ряд треугольников, часть из которых будет торчать из центра Земли и выходить за пределы ее поверхности. Нам также придется произвести на этих треугольниках серию сложных тригонометрических расчетов, в каждом из которых можно допустить ошибку, что в итоге не доведет нас до добра. Но есть и другой вариант – отправиться в школу навигации, где преподаватели обучат нас полезным приемам.

Сферическая форма Земли – главная проблема картографии. Геометры давно поняли, что земной рельеф невозможно прямо перенести на плоскую поверхность, такую как карта, не столкнувшись с различного рода искажениями. Многие тысячи лет картографы искали способ “проецировать” сферическую поверхность таким образом, чтобы минимизировать расхождения карт с реальностью. При проецировании над широтой и долготой производятся математические операции, чтобы при изображении рельефа на плоской поверхности углы и расстояния между различными точками обретали смысл. Эта математика подразумевает комбинацию геометрии сфер и тригонометрии (а ныне еще и математического анализа, к которому мы обратимся через пару глав).

Создание первой из известных нам картографических проекций приписывается Агатодемону Александрийскому, который (как считается) жил во II веке нашей эры. Древнегреческий математик Птолемей, живший в Александрии примерно тогда же, опубликовал составленную в этой проекции карту в своей книге “География”. Это проекция с линиями широт и долгот, которая в свое время была революционной, но прочерченные Агатодемоном параллели изогнуты, а меридианы не параллельны и расходятся лучами из самой северной точки.

Примерно в ту же эпоху картограф Марин Тирский предложил “равнопромежуточную проекцию” для составления карт местности. В этой проекции на плоскость широты пролегают горизонтально, а долготы – вертикально, и расстояния между всеми линиями равны. Этого – с небольшими изменениями и дополнениями – оказалось достаточно, чтобы мореплаватели более тысячи лет не испытывали проблем с навигацией.

Христофор Колумб тоже был картографом и славился составлением исключительно точных карт в своих плаваниях. К концу XV века испанский и португальский королевские дворы поняли, что того, кто сможет беспрепятственно плавать в Ост-Индию или в Америку, ждет огромное богатство. Для этого необходимо было создать такие геометрические построения, которые позволили бы картографам давать мореплавателям четкие инструкции. В дневнике Колумба от 1492 года, адресованном его покровителям, выражено его намерение осуществить нечто грандиозное:

Я решил <…> составить новую морскую карту, на которой на надлежащих местах были бы показаны под их ветром все моря и земли моря-океана, и еще завести