Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

на песке – треугольник поменьше, в котором углы при основании равны только что измеренным. Определите отношение его высоты к основанию и умножьте полученное число на расстояние, отмеренное на побережье при построении первого треугольника. У вас получится расстояние от берега до корабля.

С помощью подобных треугольников можно определять расстояние до корабля в море

Применив другой вариант этой техники, Фалес показал, что такие “подобные треугольники” содержат полезные пропорции. По легенде, он поразил египетского фараона Амасиса II, вычислив высоту пирамиды, зная лишь высоту шеста, помещенного на кончик тени этой пирамиды.

Фалес показал, как вычислить высоту пирамиды, измерив длины теней

Длина тени от пирамиды P и длина тени от шеста S относятся друг к другу так же, как высота пирамиды H и длина шеста L. Можно записать это следующим образом:

Перестроим эту формулу и получим:

Следовательно, высота пирамиды равна произведению длины шеста и длины тени от пирамиды, деленному на длину тени от шеста. Мы увидим, что такие расчеты в итоге стали столпом средневековой навигации, называемым правилом трех: если при работе с подобными треугольниками вам известны три размера, можно вычислить четвертый, неизвестный, и мир окажется у ваших ног.

Свое излюбленное открытие в отношении треугольников Фалес совершил, когда построил один из них внутри окружности. Он показал, что если взять диаметр окружности (ее ширину в самой широкой части) в качестве основания, а вершину треугольника поместить на окружности (периметре круга), то полученный треугольник всегда будет прямоугольным. По легенде, выяснив это, Фалес пришел в такой восторг, что в знак благодарности за откровение принес богам в жертву вола.

Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность

Предложенный Фалесом метод вписывания треугольника в полуокружность для построения прямого угла нашел применение в строительной сфере. Перед постройкой здания выбирается прямая – например, идеальная линия, идущая с севера на юг, которую можно провести, отметив, куда в полдень падает тень от высокой колонны, такой как египетский обелиск. Затем к колышку привязывается веревка, а колышек вбивается в землю в той точке прямой, где должен быть угол (A). С помощью другого конца веревки на земле очерчивается окружность. Далее строится еще одна окружность такого же радиуса с центром в точке B, где получившаяся окружность пересекает линию север – юг. Окружности пересекаются в точке C, и через точки B и C проводится прямая, которая продолжается до точки D на такое же расстояние, как BC, то есть CD = BC. Точки A, B и D соединяются, и получается прямоугольный треугольник, в котором сторона AD идет точно с востока на запад. Разве не прекрасный способ начать строительство храма Солнца?

Геометрический метод построения оси восток – запад на основе имеющейся оси север – юг

Хотя с методом Фалеса разберутся и восьмилетние дети, он был не первым из тех, что строители использовали для построения прямых углов. До нас дошли свидетельства того, что еще около 2000 года до нашей эры ученые, жившие на территории современного Ирака, применяли теорему, выведение которой мы ошибочно приписываем Пифагору. Краеугольным камнем строительства стало представление о наличии строгой математической связи между длинами сторон прямоугольного треугольника. Чтобы построить здание с идеально прямыми углами в основании, рабочие пользовались веревкой и колышками. Они делили веревку на 12 отрезков, а затем привязывали один ее конец к вбитому в землю колышку. Далее они отмеряли три отрезка и вбивали второй колышек в той точке, где должен был получиться прямой угол. После этого они поворачивали примерно на 90 градусов и отмеряли четыре отрезка веревки. В этом месте устанавливали третий колышек, после чего веревку протягивали обратно к первому колышку. Если ее длины не хватало, третий колышек переставляли, пока периметр не замыкался. Так у второго колышка получался идеальный прямой угол, поскольку 32 + 42 = 52.

Веревка с узелками с относительными длинами 3, 4 и 5 была полезным строительным инструментом

Именно изучив свойства треугольников, окружностей и углов, мы смогли впервые оценить размер нашей планеты. В 240 году до нашей эры Эратосфен, заведовавший Александрийской библиотекой в Египте, произвел соответствующие расчеты и вычислил длину окружности Земли.

В древних источниках (написанных, стоит сказать, спустя несколько веков после смерти нашего героя) говорится, что Эратосфен услышал, будто бы в один день в году полуденное солнце освещает всю шахту глубокого колодца в городе Сиена (ныне Асуан) на юге Египта. Это был день летнего солнцестояния, когда солнце оказывалось в самой северной точке, а следовательно, прямо над городами, стоящими на широте, которую мы сегодня называем Северным тропиком, или тропиком Рака. Эратосфен решил, что, имея эти данные и проведя измерения в Александрии, он сможет вычислить, какая доля окружности Земли приходится на идущую (примерно) с севера на юг линию между Александрией и Сиеной. В нужный день он с помощью отвеса установил шест перпендикулярно земле. В полдень он измерил угол, который образовался между тенью от шеста и вертикалью. Он составил 7,2°. Поскольку сфера покрывает 360°, Эратосфен понял, что расстояние от Сиены до Александрии должно равняться 7/360 от всей длины окружности. Он знал, что расстояние между городами составляет 5000 стадиев, и применил правило трех, чтобы вычислить длину окружности. У него получилось около 250 тысяч стадиев.

Мне хотелось бы сказать вам, в какой степени ответ Эратосфена соответствовал действительности. К несчастью, мы точно не знаем, как перевести стадии в современные единицы измерения, а потому не можем с уверенностью судить о точности его выводов. Но порядок величин точно верен. По текущим данным, окружность Земли на экваторе составляет около 40 тысяч километров. Эратосфен, вероятно, оценил ее в 40–46 тысяч километров. Неплохо для человека, которого прозвали “бетой”, или “второсортным”, поскольку, хотя он и добивался успехов во многих сферах, он никогда ни в чем не был первым.

И этим наш король второго места не ограничился. Он понял, что ось, относительно которой вращается Земля, что приводит к смене дня и ночи, не совсем параллельна оси ее орбиты вокруг Солнца. Поэтому на Земле и сменяются сезоны: поскольку ось наклонена, в определенные периоды в процессе обращения планеты вокруг Солнца северное полушарие получает больше света, чем