Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

книгу и в ней помещать все подобным же образом в рисунках с пометками экваториальной широты и западной долготы. И настолько обременил я себя всем этим, что позабыл о сне; и многое испытал я в плаванье, выполняя предначертанное, и совершение всего потребовало великих трудов[48].

Однако в силу принципов сферической геометрии никакая плоская двумерная карта сферы не может быть совершенной. Возьмем, к примеру, карту мира, которая, наверное, знакома вам лучше всего: в ее основе лежит проекция Герарда Меркатора. Она появилась в 1569 году и получила широчайшее распространение, поскольку была очень удобна для моряков. Руководствуясь своим подходом к сферической тригонометрии, Меркатор на своей карте сохранил углы между двумя любыми точками точно такими же, как на сферической поверхности Земли, благодаря чему компасный азимут по карте стал совпадать с компасным азимутом при прокладке курса корабля. Не обошлось и без недостатков: континентальные массивы – а следовательно, и расстояния – далеко от экватора оказались существенно увеличены. Мир на самом деле не совсем такой, как на проекции Меркатора: так, Аляска на деле в пять раз меньше Бразилии, но у Меркатора их размеры кажутся примерно одинаковыми. Гренландия у него сравнима по размерам с Африкой, хотя Африка на самом деле в 14 раз больше. Но разве это важно, когда вы просто плаваете по морям и океанам, не заходя слишком далеко на север и на юг?

Проекция Меркатора. Strebe, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons

Сегодня карты, конечно, выглядят совсем иначе. Они стали “динамическими”: их характеристики можно менять в зависимости от собственных нужд, как с GPS-картами в телефоне. Их польза в том, что корректность отображения мира на них может меняться на усмотрение пользователя. С точки зрения математики это весьма непросто: лучшие ученые NASA не один десяток лет не могли понять, какие математические хитрости нужно применить, чтобы этого добиться.

В конце концов с задачей справился Джон Парр Снайдер. Возможно, вы слышали прежде о Птолемее и Меркаторе, но я сильно удивлюсь, если вам знакомо имя Снайдера. И это печально, ведь, как отметили в The New York Times, он “вполне мог бы тягаться с любым другим великим картографом прошлого, включая Герарда Меркатора”[49]. Несомненно, было бы непросто найти человека, который оказал бы более непосредственное влияние на вашу жизнь благодаря своим способностям к геометрии.

Снайдер был настоящим чудаком – в лучшем смысле этого слова. В 1942 году, когда ему было всего шестнадцать, он завел первую записную книжку и стал собирать интересные факты из сфер географии, астрономии и математики[50]. Среди многого другого в его записях были сведения о треугольниках, а также мысли и догадки о геометрии плоских поверхностей и твердых тел. Эти размышления быстро пробудили в нем интерес к картографическим проекциям. Снайдера восхищало, как с помощью математических уравнений точки с поверхности земного шара преобразуются в точки на плоской поверхности и как математика влияет на геометрические взаимосвязи между ними. Однако он никогда не изучал этот предмет. В университете он специализировался на химической инженерии, которая сначала и стала его профессией. Лишь несколько десятилетий спустя, в 1970-х годах, он профессионально занялся картографией.

В 1972 году NASA запустило Landsat 1 – первый спутник, созданный для изучения географии Земли. Посвященным было понятно, что с помощью этого спутника можно будет составить принципиально новую карту мира, и два года спустя руководитель картографического отдела Геологической службы США (USGS) опубликовал статью с описанием подходящей математической проекции. Олден Колвокорессис – для друзей просто Колво – представил карту, которая учитывала бы перемещения сканера спутника, орбиту спутника, вращение Земли и изменение угла наклона оси этого вращения в ходе 26-тысячелетнего цикла “прецессии”. Чтобы избежать искажений, нужно было сделать карту в форме цилиндра, поверхность которого колебалась бы вдоль его длинной оси. Таким образом не возникало бы никаких катастрофических искажений при перенесении данных со спутника на карту. Эта идея казалась очень смелой. Вот только ни в NASA, ни в USGS не нашлось ни одного человека, способного провести необходимый геометрический анализ, чтобы сконструировать требуемую проекцию.

Снайдер услышал об этой проблеме в 1976 году, когда жена вручила ему на день рождения подарок для настоящего умника: билет на картографическую конференцию “Меняющийся мир геодезической науки”, которая проходила в Колумбусе (штат Огайо). Колво выступил там и описал трудности, с которыми столкнулся. Снайдер заинтересовался. На протяжении пяти месяцев он ломал голову над этой задачей, превратив гостевую спальню в рабочий кабинет и не используя никаких технических средств помимо программируемого карманного калькулятора TI-56, выпущенного компанией Texas Instruments. USGS почти сразу предложила Снайдеру работу.

Проекция Снайдера называется космической косой проекцией Меркатора. По мнению одного специалиста, это “одна из самых сложных проекций, разработанных человеком”. Среди прочего она предполагает применение 82 уравнений к каждой единице информации. В результате получается проекция Меркатора, построенная с движущейся наблюдательной точки и допускающая лишь минимальное искажение при изображении области, находящейся прямо под спутником. Нам очень сложно понять, как именно работает эта система, но любопытно отметить, что статья Снайдера с описанием лежащих в ее основе идей пестрит синусами, косинусами и тангенсами. Прошло несколько тысяч лет с тех пор, как мы постигли свойства треугольника, а они по-прежнему служат нам верой и правдой.

Космическая косая проекция Меркатора стала важнейшим шагом на пути к созданию спутниковых карт нашей планеты. Они жизненно необходимы для всех аспектов цивилизации XXI века, от проведения военных операций и осуществления навигации до прогнозирования погоды, защиты окружающей среды и мониторинга климата. Проекция Снайдера дала нам карты Google и Apple, спутниковую навигацию в автомобилях и все остальные технологии цифровой навигации. Наконец-то мы увидели Землю глазами бога. Мы добились этого за шестьсот лет – если вести отсчет от того момента, когда Генрих Мореплаватель приступил к упорным поискам пресвитера Иоанна.

Пи и круг

Учитывая, сколько внимания я уделил треугольникам, мне не было бы прощения, если бы я лишь по касательной прошелся по свойствам кругов. Они тоже сыграли весьма важную роль в нашей истории.

Как и треугольники, круги всегда интересовали людей из практических соображений. Вычисляя площадь треугольников и прямоугольников, древние правители понимали, какой налог взимать с землевладельца, поскольку любое поле, какой бы формы оно ни было, можно грубо поделить на треугольники и прямоугольники. Благодаря этому становится проще определить общую площадь поля, и налоговый инспектор понимает, какой налог подлежит уплате в казну. Умение вычислять объем цилиндрических сосудов и силосных зернохранилищ (или