Математика космоса. Как современная наука расшифровывает Вселенную - Йен Стюарт

Сегодня мы называем эту картину гомоклиническим плетением. Не обращайте внимания на «гомоклиническое» (этим специальным термином обозначается фазовая траектория, которая присоединяет к себе точку равновесия), сосредоточьтесь лучше на «плетении», в данном случае это слово более красноречиво. Рисунок ниже объясняет геометрию этого явления при помощи простой аналогии.

По иронии судьбы Пуанкаре едва не упустил возможность сделать это эпохальное открытие. Просматривая документы Института Миттаг-Леффлера в Осло, историк математики Джун Бэрроу-Грин обнаружила, что опубликованный вариант работы Пуанкаре, ставший победителем конкурса, не совпадает с вариантом той же работы, поданным на конкурс. Уже после того, как приз был присужден, а официальные материалы конкурса напечатаны, но еще не разосланы, Пуанкаре обнаружил в своей работе ошибку — он упустил из виду хаотические орбиты. Он отозвал свою работу и заплатил за то, чтобы в официальной публикации его работа была по-тихому заменена пересмотренной версией.

* * *

Потребовалось немало времени, чтобы идеи Пуанкаре получили признание. Следующий прорыв произошел в 1913 году, когда Джордж Биркгоф доказал так называемую «последнюю геометрическую теорему» — недоказанное предположение, из которого Пуанкаре вывел существование, в подходящих для того условиях, периодических орбит. Мы сегодня называем этот результат теоремой Пуанкаре — Биркгофа о неподвижной точке.

Математики и другие ученые до конца осознали существование хаоса лет 50 назад. Следуя по стопам Биркгофа, Стивен Смейл провел глубокое исследование геометрии гомоклинического плетения; он встретил ту же проблему в другой области динамики, что и побудило его заинтересоваться этим вопросом. Он придумал динамическую систему со сходной геометрией, которую намного проще анализировать; эта система получила известность как подкова Смейла. Она начинается с квадрата, который растягивается в длинный тонкий прямоугольник и загибается в форме подковы, а затем накладывается на первоначальный квадрат. Повторение этой процедуры раз за разом очень напоминает замес теста и порождает те же хаотические последствия. Геометрия подковы позволяет строго доказать, что такая система хаотична и что в некоторых отношениях она ведет себя как случайная последовательность бросков монетки, несмотря на свою полную детерминированность.

По мере того как проявлялись масштабы и богатство хаотической динамики, растущий ажиотаж в научной среде разбудил интерес к хаосу в средствах массовой информации, которые окрестили все это предприятие «теорией хаоса». На самом же деле хаотическая динамика всего лишь часть, хотя, бесспорно, значительная и захватывающе интересная часть, еще более важной области математики, известной как нелинейная динамика.

* * *

Странное поведение спутников Плутона — всего лишь один пример хаоса в космосе. В 2015 году Марк Шоуолтер и Дуглас Хэмилтон опубликовали математический анализ, подводящий теоретическую базу под загадочные наблюдения лун Плутона, выполненные телескопом Hubble. Идея в том, что Плутон и Харон действуют как доминирующие тела в анализе Пуанкаре, а остальные, намного более мелкие луны ведут себя отчасти как пресловутые пылинки. Однако, поскольку это все же не точечные тела, а луны в форме мяча для регби или, возможно, даже картофелины, их безумие проявляется хаотическим кувырканием. Их орбиты, как и положение на этих орбитах в произвольный момент времени, также хаотичны, а значит, предсказываются только статистически. Еще менее предсказуема ориентация каждой луны.

Луны Плутона не были первыми объектами, замеченными за кувырканием. Эта честь принадлежит спутнику Сатурна Гипериону, и первоначально он считался единственной в своем роде кувыркающейся луной. В 1984 году Гиперион привлек к себе внимание Уиздома, Стэнтона Пила и Франсуа Миньяра. Следует заметить, что почти все спутники планет в Солнечной системе относятся к двум категориям. Вращение луны, относящейся к первой категории, подверглось сильному влиянию приливного взаимодействия с центральным телом — планетой, так что такие луны всегда обращены к планете одной и той же стороной; иначе говорят, что они находятся с планетой в спин-орбитальном резонансе 1:1, то есть вращаются с ней синхронно. Луны второй категории очень слабо взаимодействуют с планетой и по-прежнему вращаются примерно так же, как делали это сразу после формирования. Гиперион и Япет — исключения: согласно теории, они должны со временем потерять большую часть своего изначального момента и синхронизовать вращение с орбитальным движением, но ненадолго — примерно на миллиард лет.

Несмотря на это, Япет уже вращается синхронно. Один Гиперион, казалось, делает что-то более интересное. Оставался, однако, вопрос: что именно?

Уиздом и его коллеги сравнили данные по Гипериону с теоретическим критерием хаоса — условием наложения резонансов. Результат показал, что орбитальное движение Гипериона должно хаотически взаимодействовать с его вращением, и это предсказание подтвердилось при численном решении уравнений движения. Хаос в динамике Гипериона проявляется главным образом в непредсказуемом кувыркании. Сама орбита так дико не меняется. Примерно так катится по полю мяч для регби, в целом почти прямо, но переваливаясь при этом непредсказуемо с одного конца на другой.

В 1984 году единственной известной луной Плутона был Харон, открытый в 1978 году, и никто не мог измерить скорость его вращения. Остальные четыре спутника были открыты с 2005 по 2012 год. Все пять спутников втиснуты в необычайно маленькое пространство, и считается, что первоначально все они были частями одного более крупного тела, которое столкнулось с Плутоном на ранней стадии формирования Солнечной системы — этакая миниатюрная версия теории ударного формирования нашей собственной Луны. Харон большой, округлый и к тому же синхронизирован с Плутоном, то есть обращен к нему всегда одной и той же стороной, как Луна к Земле. Однако, в отличие от Земли, Плутон тоже всегда обращен к своему спутнику одной и той же стороной. Такая синхронизация и округлая форма не позволяют Харону хаотически кувыркаться. Остальные четыре луны малы и имеют неправильную форму; в настоящее время известно, что они, подобно Гипериону, хаотически кувыркаются.

Нумерология Плутона не ограничивается резонансом 1:1. С хорошим приближением Стикс, Никта, Кербер и Гидра состоят с Хароном в орбитальных резонансах 1:3, 1:4, 1:5 и 1:6; это означает, что их периоды приблизительно в 3, 4, 5 и 6 раз превосходят период Харона. Однако это лишь средние цифры. Их реальные орбитальные периоды заметно варьируются от одного оборота к другому.

Да, с учетом всего сказанного картина по астрономическим меркам выглядит очень упорядоченно. Поскольку порядок может порождать хаос, они часто встречаются одновременно в одной и той же системе: она может быть упорядоченной в одних отношениях и хаотичной в других.

* * *

Две ведущие исследовательские группы, работающие над изучением хаоса и долговременной динамики Солнечной системы, возглавляют Уиздом и Ласкар. В 1993 году практически одновременно — с недельным разрывом — обе группы опубликовали работы с описанием нового космического контекста для хаоса: наклона осей вращения планет.