Математика космоса. Как современная наука расшифровывает Вселенную - Йен Стюарт

Длительность периода времени, для которого подобные предсказания имеют смысл, называется горизонтом предсказуемости (есть специальный термин: время Ляпунова). Чем точнее вы знаете текущее состояние хаотической динамической системы, тем длиннее становится горизонт предсказуемости, но горизонт отдаляется намного медленнее, чем растет точность измерений. Какими бы точными они ни были, малейшая ошибка в оценке нынешнего состояния со временем возрастет настолько, что собьет всякое предсказание. Метеоролог Эдвард Лоренц открыл эту закономерность на простой погодной модели, но то же самое верно и в отношении сложных погодных моделей, используемых в настоящее время синоптиками. Движение атмосферы подчиняется вполне конкретным математическим правилам, в которых нет места случайности, тем не менее все мы знаем, какими ненадежными становятся прогнозы погоды всего через несколько дней.

Это и есть знаменитый (и зачастую понимаемый неверно) эффект бабочки Лоренца: взмах крыла бабочки может месяцем позже вызвать ураган где-то на другом конце света[48].

Если вы считаете, что это звучит неправдоподобно, я вас не виню. Это соответствует истине, но только в очень специфическом смысле. Главным потенциальным источником непонимания здесь служит слово «вызвать». Трудно понять, как из крохотного количества энергии, заключенного во взмахе крыла, может родиться громадная энергия урагана. Ответ заключается в том, что ничего подобного на самом деле не происходит. Энергия урагана не исходит из взмаха крыла: она поступает из других источников и перераспределяется, когда крыло взаимодействует с остальной, неизменной в других отношениях погодной системой.

После взмаха крыла мы не получаем в точности ту же погоду, что и до взмаха, но с лишним ураганом. Нет, меняется весь рисунок погоды по всему миру. Поначалу изменение невелико, но оно растет — не в смысле энергии, но в смысле отличия от того, что было бы, не взмахни бабочка крылом. И эти отличия стремительно становятся большими и непредсказуемыми. Если бы бабочка взмахнула крыльями на две секунды позже, она могла вместо этого «вызвать» торнадо на Филиппинах, скомпенсированный буранами по всей Сибири. Или месяц устойчивой погоды в Сахаре, если на то пошло.

Математики называют этот эффект «чувствительность к начальным условиям». В хаотической системе входные сигналы, очень слабо различающиеся между собой, вызывают результаты, отличающиеся очень сильно. Этот эффект вполне реален и очень часто встречается. Именно поэтому, в частности, тесто так тщательно замешивают. Каждый раз, когда тесто растягивают, соседние крупинки муки расходятся. Затем, когда тесто складывают и сминают, чтобы не дать ему убежать из опары, крупинки, прежде находившиеся далеко, могут оказаться рядом (а могут и не оказаться). Местное растягивание в сочетании со складыванием создает хаос.

Это не просто метафора, это описание на обычном бытовом языке фундаментального математического механизма, порождающего хаотическую динамику. С математической точки зрения атмосфера Земли похожа на тесто. Физические законы, управляющие погодой, локально «растягивают» атмосферу, но она не уходит никуда с планеты, так что ей приходится «накладываться» на себя. Следовательно, если бы мы могли прогнать динамику погоды на Земле дважды с той единственной разницей, что бабочка в начальный момент взмахнула крыльями — или не взмахнула, — то результирующие варианты разошлись бы экспоненциально. Погода, конечно, не перестала бы быть погодой, но она стала бы другой.

На самом деле мы не в состоянии прогнать реальную погоду дважды с разными начальными условиями, но именно так делаются прогнозы с использованием моделей, отражающих подлинную атмосферную физику. Крохотные изменения в числах, представляющих текущее состояние погоды, при подстановке в уравнения, предсказывающие ее будущее состояние, приводят к масштабным изменениям прогноза. К примеру, область высокого давления над Лондоном в одном прогоне модели может смениться областью низкого давления в другом. Современный способ обойти при прогнозировании этот неприятный эффект состоит в многократном моделировании погоды с небольшими случайными изменениями начальных условий и использовании результатов для количественной оценки вероятности различных прогнозов. Именно это означают слова «грозы с вероятностью 20 %».

На практике невозможно вызвать конкретный ураган при помощи специально выдрессированной бабочки, потому что предсказание результата, вызванного взмахом ее крыльев, ограничено тем же горизонтом предсказуемости. Тем не менее в другом контексте, скажем, в связи с сердцебиением, подобного рода «хаотическое управление» может обеспечить эффективный путь к желаемому динамическому поведению. В главе 10 мы приведем несколько астрономических примеров этого в контексте космических проектов.

* * *

Я вас не убедил? Недавнее открытие, касающееся раннего периода существования Солнечной системы, ярко высветило этот вопрос. Представим себе, что некая инопланетная сверхдержава способна была бы прогнать процесс образования Солнечной системы из первичного газового облака заново из того же самого начального состояния, но с добавлением одной-единственной лишней молекулы газа. Насколько иной в этом случае была бы сегодняшняя Солнечная система?

Хочется предположить, что она не слишком сильно отличалась бы от реальной. Но не забывайте про эффект бабочки. Математики доказали, что движение молекул в газе происходит хаотично, поэтому вряд ли стоило бы удивляться, если бы это оказалось верным и в отношении коллапсирующих газовых облаков, хотя детали процессов формально и различаются. Чтобы выяснить это, Фолькер Хоффман и его сотрудники смоделировали динамику газового диска на той стадии, когда в нем содержится 2000 планетезималей; исследователи хотели проследить, как столкновения заставляют эти тела собираться в планеты. Они сравнили результат с развитием моделей, в которых присутствовало два газовых гиганта с двумя различными вариантами для их орбит. Для каждого из трех сценариев моделирование было проведено десяток раз с чуть разными начальными условиями. На каждый прогон модели ушел примерно месяц работы суперкомпьютера.

Выяснилось, что столкновения планетезималей, как и ожидалось, носят хаотичный характер. Эффект бабочки проявляется очень драматично: стоит изменить начальное положение одной-единственной планетезимали всего на 1 мм, и получается совершенно другая планетная система. Экстраполируя этот результат, Хоффман считает, что добавлением единственной молекулы газа к точной модели нарождающейся Солнечной системы (будь такое возможно) вы могли бы изменить результат так сильно, что Земля не сформировалась бы.

Вот вам и часовой механизм.