Математика космоса. Как современная наука расшифровывает Вселенную - Йен Стюарт

Прежде чем углубиться в рассуждения о том, насколько невероятным при этом становится наше собственное существование, и привлекать к этому вопросу божественную руку провидения, стоит принять во внимание еще один аспект этих расчетов. Хотя каждый прогон модели приводит к возникновению планет разных размеров на разных орбитах, все солнечные системы, рождающиеся в заданном сценарии, очень похожи между собой. Без газовых гигантов мы получаем около 11 каменных миров, уступающих в большинстве своем по размерам Земле. Добавляем газовые гиганты — это более реалистичная модель — и получаем четыре каменные планеты с массами от половинки земной до чуть больше массы нашей планеты. Это очень близко к тому, что есть на самом деле. Эффект бабочки меняет орбитальные элементы, но общая структура системы получается примерно одинаковой.

То же самое происходит и в погодных моделях. Взмах крылышек… и на земном шаре устанавливается совсем не такая погода, какой она была бы без этого взмаха, — но это все равно погода. Землю не заливает внезапно жидким азотом, и буран из гигантских лягушек тоже не налетает. Так что, хотя наша Солнечная система, скорее всего, не возникла бы в точности в нынешней своей форме, если бы первоначальное газовое облако было чуть-чуть иным, на ее месте непременно возникло бы что-то очень похожее. Так что шансов на появление живых организмов, вероятно, было бы не меньше.

Иногда горизонт предсказуемости может быть использован для оценки возраста хаотической системы небесных тел, поскольку именно от него зависит, как быстро система распадется и разбредется в разные стороны. В качестве примера можно назвать семейства астероидов. Их выделяют потому, что члены семейств обладают очень схожими орбитальными элементами. Считается, что каждое такое семейство возникло в результате распада в какой-то момент в прошлом одного более крупного тела. В 1994 году Андреа Милани и Паоло Фаринелла воспользовались этим методом, чтобы определить, что возраст семейства астероида Веритас не превышает 50 млн лет. Семейство это представляет собой компактный кластер астероидов, связанных с астероидом 490 Веритас и расположенных ближе к внешнему краю основного пояса с внутренней стороны от резонансной орбиты 2:1 с Юпитером. Их расчеты показывают, что два астероида этого семейства имеют сильно хаотические орбиты, созданные временным резонансом 21:10 с Юпитером. Горизонт предсказуемости указывает на то, что эти два астероида не должны были бы оставаться на близких орбитах более 50 млн лет, в то время как другие данные свидетельствуют о том, что оба они изначально являются членами семейства Веритас.

* * *

Первым, кто догадался о существовании детерминистского хаоса и сумел хотя бы предположить, почему он возникает, был великий математик Анри Пуанкаре. В то время он работал над задачей, на которую король Норвегии и Швеции Оскар II объявил математический конкурс и пообещал приз. Требовалось найти решение задачи n тел для ньютоновой гравитации. В правилах конкурса точно указывалось, какого рода требуется решение. Просили найти не формулу вроде Кеплерова эллипса, поскольку все уже были убеждены, что ничего подобного не существует, а «представление координат каждой точки в виде [бесконечного] ряда от какой-либо переменной, которая является некоторой известной функцией времени и для всех значений которой ряд сходится равномерно».

Пуанкаре выяснил, что решить эту задачу в общем и целом невозможно даже для трех тел при очень ограниченных начальных условиях. Чтобы доказать это, он продемонстрировал, что орбиты могут быть, как мы сказали бы сегодня, «хаотичными».

Обобщенная задача для произвольного числа тел оказалась не по зубам даже Пуанкаре. Он взял n = 3. На самом деле он работал над тем, что я в главе 5 назвал задачей двух с половиной тел. Два тела — это, скажем, планета и одна из ее лун; за половинку считается пылинка, настолько легкая, что, хотя сама она откликается на гравитационные поля двух других тел, на них она не оказывает абсолютно никакого влияния. Из этой модели получается чудесная комбинация из совершенно регулярной (как в задаче двух тел) динамики двух массивных тел и в высшей степени непредсказуемого поведения пылинки. Как ни странно, именно регулярное поведение массивных тел делает поведение пылинки совершенно безумным.

Слово «хаос» создает у читателя впечатление, что орбиты трех или более тел являются случайными, бесструктурными, непредсказуемыми и не подчиняются никаким законам. На самом деле пылинка кружится по гладким кривым, близким к дугам эллипсов, но форма эллипса при этом постоянно меняется без всякой видимой закономерности. Пуанкаре наткнулся на возможность хаоса, когда размышлял о динамике пылинки на орбите, близкой к периодической. Он ожидал обнаружить какую-то сложную комбинацию периодических движений с разными периодами, примерно как если бы космический аппарат облетал Луну, облетал Землю и облетал Солнце — все за разные периоды времени. Однако, как уже обозначено в правилах конкурса, ответ ожидался в виде «ряда», в котором присутствует не всего лишь три, а бесконечное множество периодических движений.

Пуанкаре нашел такой ряд. Но как же тогда появляется хаос? Не оттого, что тут присутствует ряд, а из-за порочности всей идеи. В правилах говорилось, что ряд должен сходиться. Это формальное математическое требование, необходимое для того, чтобы бесконечная сумма имела смысл. По существу, сумма ряда по мере включения в нее новых членов должна подходить все ближе и ближе к какому-то конкретному числу. Пуанкаре всегда тщательно искал подводные камни; он понял, что его ряд не сходится. Поначалу он, казалось, подходил все ближе к какому-то конкретному числу, но потом сумма вдруг начинала расходиться от этого числа все дальше и дальше. Такое поведение характерно для «асимптотических» рядов. Иногда асимптотический ряд может быть полезен для практических целей, но здесь он намекал на то, что на пути к получению подлинного решения стоит какое-то препятствие.

Чтобы понять, что это за препятствие, Пуанкаре отказался от формул и рядов и обратился к геометрии. Он рассматривал одновременно положение в пространстве и скорость, так что горизонтали на рисунке в 5 главе на самом деле представляли собой не кривые, а трехмерные объекты. Это вызывало дополнительные сложности. Размышляя о геометрическом размещении всех возможных орбит, близких к конкретной периодической орбите, Пуанкаре понял, что многие орбиты здесь должны быть очень запутанными и непредсказуемыми. Причина заключается в особой паре кривых, полностью определяющих, как близлежащие орбиты ведут себя по отношению к периодической: приближаются к ней или удаляются от нее. Если эти кривые пересекаются друг с другом в какой-то точке, то из фундаментальных математических свойств динамики (единственность решений дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях) следует, что они должны пересекаться в бесконечном числе точек, образуя запутанную сеть. Вскоре после этого в журнале Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Celeste («Новые методы небесной механики») Пуанкаре так описал эту геометрию:

«Своего рода шпалеры, ткань, плетенка в виде бесконечно плотной сетки; каждая из двух кривых не должна пересекать самое себя, но должна накладываться на себя очень сложным образом, так чтобы перекрещиваться со всеми ячейками ткани бесконечное число раз. Поражает сложность этой картины, которую не буду даже пытаться изобразить».