Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

зависящие от цены на газ. Нередко уравнения в частных производных вообще не решаются должным образом – их решают “численно”, то есть с помощью компьютера, который перебирает разные комбинации чисел и ищет подходящие.

Открыв возможности для применения математического анализа с целью оценки таких вещей, как опционы, Мертон, Шоулз и Блэк изменили принципы денежного обращения во всех рыночных экономиках мира. Чтобы понять, какое влияние они оказали, посмотрим на цифры. В 1973 году, когда вышли их статьи, на рынке было всего 16 опционов. Сегодня рынок опционов оценивается в триллионы долларов. На протяжении десятилетий ученые развивали их идеи, создавая на базе математического анализа новые методы определения ценности (и заработка денег) на финансовых рынках. В большинстве своем их инновации предполагают решение уравнений в частных производных в разных формах. И здесь модель Блэка – Шоулза – Мертона нас подвела (как и другие подобные).

Из-за своей сложности эти модели были скомпилированы в готовые компьютерные программы, позволяющие трейдерам вводить небольшое число переменных, связанных с текущим состоянием рынка, и получать, по сути, рекомендацию к действию. К несчастью, лишь малая часть этих программ содержала четкие предупреждения об их ограничениях и несовершенствах. Блэк, Шоулз и Мертон прямо говорили, где и когда обоснованны и применимы решения их уравнений в частных производных, но оговорки об особенностях новых программ часто не принимались в расчет – если делались вообще. Никто из тех, кто пользовался программами, находясь на передовой финансовых транзакций, ничего не знал об уравнениях, лежащих в их основе, и потому рекомендации систем не подвергались сомнению. В результате все больше и больше организаций накапливало скрытые, токсичные задолженности.

Причины глобального финансового кризиса чрезвычайно сложны, но, по сути, они сводятся к недостатку информации о риске. Трейдеры, работавшие на большинство крупных банковских и финансовых организаций, сами того не понимая, покупали огромные объемы финансовых пакетов, в которых скрывались токсичные задолженности. К тому времени, как стало выясняться, что такие компании, как Lehman Brothers, владеют долговыми обязательствами, которые никогда не будут погашены, уже ничего нельзя было предпринять: компании больше не могли торговать на рынке. Повторилась ситуация с банком Медичи. В сентябре 2008 года банк Lehman Brothers прекратил свое существование. Остальное вы знаете.

Впрочем, не все так плохо. Даниил Бернулли сделал и третий вклад в развитие и применение математического анализа. После здравоохранения и финансов он стал применять уравнения Лейбница и Ньютона, чтобы описывать и прогнозировать течение жидкостей. И здесь к нам возвращается радость математического анализа. Математика течения жидкостей лежит в основе конструирования самолетов. Если правильно все рассчитать, она приведет вас к победам, меняющим ход истории, – таким, например, как битва за Британию. Труды Даниила Бернулли дают нам возможность вернуться к “Супермарин Спитфайру”. Настало время подняться в небо и воспарить на крыльях дифференциальных уравнений.

Стремление к совершенству полета

Бернулли начал с изучения открытий Архимеда, сделанных 2 тысячи лет назад. Это были довольно скучные законы, которым подчинялись жидкости, неподвижно находящиеся в емкостях, например в ваннах. С помощью математического анализа Бернулли вдохнул в них новую жизнь, совместив с законами движения Ньютона. Он опубликовал результаты своих исследований в книге “Гидродинамика”, которую впоследствии скопировал его отец.

Одним из наиболее значимых открытий Бернулли стало то, что увеличение скорости потока жидкости приводит к снижению давления этой жидкости на окружающую среду. В применении к крыльям самолета этот закон объясняет феномен подъемной силы. Рассчитав колебания давления на поверхность крыла с помощью математического анализа, можно увидеть направленную вверх силу.

Правда в том, что мы точно не знаем, за счет чего летают самолеты. Как ни странно, эксперты по сей день не могут сойтись во мнении, применять ли к ним закон Бернулли, третий закон Ньютона – любому действию всегда есть равное и противоположное противодействие – или какой-нибудь другой принцип. Впрочем, вас, возможно, удивит тот факт, что величайший физик XX века выступал именно на стороне Бернулли.

В 1916 году, только что опубликовав общую теорию относительности, Альберт Эйнштейн обратился к вопросу полета[124]. Применив математический анализ на основе закона Бернулли, он предложил новую форму крыла, верхняя поверхность которого была заметно выгнута, чтобы увеличить скорость движения воздуха, обтекающего крыло, благодаря этому снизить давление в нужной области и обеспечить действие на крыло чистой подъемной силы, возникающей из-за давления воздуха под крылом.

Крыло Эйнштейна плохо показало себя на испытаниях в аэродинамической трубе, но в силу репутации ученого ему все же дали шанс. Немецкий авиаконцерн Luftverkehrsgesellschaft (LVG) в 1917 году построил экспериментальный образец, и пионер авиации Пауль Эрхарт вызвался стать летчиком-испытателем. Полет прошел не слишком удачно. “После взлета я завис в воздухе, как беременная утка”, – вспоминал впоследствии Эрхарт[125]. Эйнштейн навсегда потерял тягу к прикладной физике. “Должен признать, я часто стыдился своей тогдашней глупости”, – сказал он однажды, описывая свои впечатления от этой работы.

А вот менее известные ученые и математики справились с задачей гораздо лучше. На поверку оказалось, что Эйнштейн – что было вполне в его духе – проигнорировал поразительные достижения других специалистов. Как отмечалось в начале этой главы, к тому моменту, когда Эйнштейн решил поиграть с темой, другие математики уже внедряли выведенные изначально по наитию параметры Фредерика Ланчестера для конструирования крыла в математические уравнения, также основанные на трудах Бернулли. В 1920-х годах появилось огромное количество научных сочинений о полете, и многие наиболее значимые открытия были сделаны в Германии. Именно там Беверли Шенстоун два года проработал на заводе “Юнкерс” в Дессау. Он вернулся в Англию в 1931 году, и год спустя Реджинальд Митчелл нанял его в Supermarine с зарплатой 500 фунтов в год.

Тогда Шенстоун еще не изучил математический анализ в достаточной степени, чтобы спроектировать “Спитфайр”. Но кое-какие знания у него уже были. Писатель Лэнс Коул изучил бумаги, книги и дневники Шенстоуна, собирая материал для своей книги “Тайны «Спитфайра»”. На заднем форзаце учебника дифференциального математического анализа, которым Шенстоун пользовался почти двадцать лет, Коул обнаружил “написанные карандашом эллиптические расчеты… подкрепленные математическим анализом”. И все же Шенстоун понимал, что знаний ему недостает. Такой вывод можно сделать, познакомившись с его опубликованной в 1934 году статьей по математическому анализу конструирования крыльев, где он поблагодарил человека, вклад которого оказался практически забыт: “В заключение автор желает выразить благодарность профессору Р. К. Дж. Хауленду за помощь и ценные советы при работе над этой статьей”[126].

Математик Реймонд Хауленд работал в Саутгемптонском университетском колледже (ныне – Саутгемптонский университет) на южном побережье Англии. Хауленд был специалистом по математическому анализу.