Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

С помощью первого уравнения он нашел число людей, никогда не болевших оспой, которое было долей от общей численности населения. С помощью второго уравнения – спрогнозировал ежегодное количество заражений вирусом и смертей, вызванных оспой, и количество жизней, которые будут спасены, если ее искоренить. Вот фрагмент его рассуждений:

…число тех, кто при этом не болел оспой [в заданном возрасте] = s… элемент – ds с самого начала равен числу тех, кто заболевает оспой в течение времени dx, и… в соответствии с нашим предположением, он равен sdx/n, потому что если за год из n человек заболевает один, то за время dx из s человек заболеет именно столько.

В его анализе содержатся знакомые нам компоненты dx и ds – взятые у Лейбница, – а затем появляются интегралы и дифференциалы. Бернулли приходит к выводу, что числа ясно показывают: Франция должна вакцинироваться.

Так была предпринята первая попытка применить математику для воздействия на политику в области общественного здравоохранения, и без математического анализа здесь было не обойтись. Впрочем, это не сработало: несмотря на математические выкладки, французские обыватели не спешили прививаться от оспы.

Далее Даниил Бернулли понял, что математический анализ можно также применить к экономике. Первым делом он вывел довольно банальный закон “снижения предельной полезности денег”[118]. Иными словами, если денег у вас много, то небольшая прибавка к состоянию почти ничего не изменит, но для человека, у которого денег гораздо меньше, она может стать вполне ощутимой. Словами Бернулли: “Без сомнения, для бедного доход в тысячу дукатов имеет большее значение, чем для богатого, в то время как его денежная ценность одинакова для обоих”.

Если говорить на языке математики, x – это ваше текущее состояние, u – степень его полезности для вас. Бернулли отметил, что du/dx, изменение полезности при увеличении состояния, снижается по мере увеличения оного. Это вряд ли можно считать откровением. Но так и было положено начало применения математического анализа к исследованию экономической теории. И этот джинн, изменивший цивилизацию, отказывается возвращаться в бутылку.

Помните Фалеса Милетского и его эксплуатацию производителей оливок? Возможно, именно в тот момент мы должны были понять, что в математике сила. По мнению Аристотеля, Фалес просто хотел доказать, что философы вполне могли бы разбогатеть, но посвящали себя более важным вещам. Впрочем, он, вероятно, сам того не желая, продемонстрировал, что если разбогатеть вам все же хочется, то знание математики придется очень кстати. Неудивительно, что Уолл-стрит, лондонский Сити и все остальные финансовые центры, раскиданные по миру, расхватывают молодых математиков и физиков, которые сильны в математическом анализе, как горячие пирожки.

То, что началось с прозорливости Фалеса, ожидавшего, что прессы для оливок возрастут в цене, вылилось в попытку прогнозирования будущей стоимости любого товара, который можно использовать для заработка денег. Всякий, кому хоть раз приходилось принимать решение о поведении на фондовом рынке, скажет вам, что торговля финансами – это, по сути, азартная игра. Именно поэтому математика финансов уходит корнями в теорию вероятностей.

Теория вероятностей началась с Джероламо Кардано, который хотел выиграть в карты и кости достаточно денег, чтобы оплатить свое обучение в медицинском университете. Но вплотную предметом занялся пионер математического анализа Пьер Ферма, работавший вместе с Блезом Паскалем[119]. Они проанализировали вероятность различных исходов в разных играх и вывели формулу, более или менее эквивалентную той, что используется для определения ценности финансовых пакетов, называемых деривативами.

Дериватив, или производный финансовый инструмент, – это контракт между покупателем и продавцом. В нем оговаривается цена, по которой актив будет продаваться в некоторый момент будущего. Допустим, вы торгуете нефтяными фьючерсами. Вы заключаете контракт на покупку определенного количества баррелей нефти по указанной цене в указанный день или позже. Вы надеетесь, что к этому дню цена на нефть станет больше той, о которой вы договорились, и тогда вы либо выиграете деньги с этой сделки, либо сможете продать контракт заинтересованному покупателю до наступления указанного дня. Проблема в том, что вы точно не знаете, как будет меняться цена на нефть в промежуточное время. В связи с этим вам приходится моделировать вероятные изменения с помощью математики.

После того, как Даниил Бернулли сделал в этом направлении первый шаг, область применения математического анализа в финансах стала неуклонно расширяться. В 1781 году французский математик Гаспар Монж с помощью математического анализа нашел способ свести к минимуму транспортные расходы при перемещении породы в ходе строительства дорог и фортификационных сооружений[120]. Метод Монжа, по сути, не отличается от метода, используемого в финансовом хеджировании, когда люди делают вложения для минимизации общих потерь при возникновении непредвиденных проблем в других областях их финансовой деятельности. Сегодня математический анализ применяется на всех финансовых рынках, но выделяется при этом одно ключевое уравнение: модель Блэка – Шоулза – Мертона.

Все началось в 1973 году, когда ученые-экономисты Фишер Блэк и Майрон Шоулз опубликовали статью “Ценообразование опционов и корпоративные обязательства”[121]. Вскоре после этого экономист Роберт Мертон развил их идею в статье “О ценообразовании корпоративного долга: структура риска процентных ставок”[122]. Вам может показаться, что ничего скучнее не придумаешь (мне именно так и кажется), но эти статьи оказались такими обстоятельными, новаторскими и весомыми, что Мертон и Шоулз в 1995 году получили Нобелевскую премию по экономике (Блэк умер от рака горла в 1995 году и потому не мог стать лауреатом).

Блэк, Шоулз и Мертон пробудили интерес к так называемым опционам. Они напоминают нефтяные фьючерсы, о которых уже говорилось раньше: это заключенный между двумя сторонами контракт на куплю-продажу некоторого товара или акций по заранее оговоренной цене в указанную дату при условии, что к этому времени обе стороны по-прежнему готовы провести сделку. Продавец, однако, может продать опцион третьей стороне. Это еще один способ сделать ставку на повышение или понижение рыночной стоимости акции или товара.

Интерес к этому возник, поскольку Блэк, Шоулз и Мертон продемонстрировали, что с помощью математического анализа можно определять взаимовыгодную цену опциона[123]. В том числе они использовали “уравнение в частных производных”. Если в “обыкновенном” дифференциальном уравнении всего одна переменная (и решить его, как правило, довольно просто), то в уравнениях в частных производных уже две и более переменных. Примером может служить стоимость актива, которая меняется со временем, а также при изменении стоимости другого актива, – скажем, цены на нефть, колеблющиеся в зависимости от того, какой объем нефти поступает на рынок, но также порой