Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

Помните, как мы вычисляли dy/dx, производную, которая описывает, как y меняется при изменении x? Теперь мы работаем с соотношением между этой производной, площадью и значением y, то есть ординатой точки на исходной кривой. Отсюда и вытекает интегрирование, которое, по сути, представляет собой “противоположность дифференцированию”. Лейбниц предложил символ интеграла, или суммы: ∫. Раньше его называли “длинной s”, и он символизировал бесконечное число крошечных операций сложения. Обычно он пишется с dx после интегрируемого, и сразу становится ясно, что речь идет об изменении, которое происходит при изменении x. Интеграл функции y = axn – это площадь под ее графиком, и записать его можно следующим образом:

Отношения между кривыми и их производными и интегралами

C здесь – неизвестная постоянная (как помните, при дифференцировании мы отбрасываем все параметры, не имеющие x, поэтому при обратной операции мы должны вернуть их назад, хотя и как неизвестные).

Как и дифференцирование, интегрирование используется во множестве сфер современной жизни. Например, при прогнозировании погоды и моделировании климата необходимо интегрировать количество солнечного света, поступающего на поверхность Земли. Интегрирование прогнозируемого количества осадков позволяет установить, существует ли опасность наводнения. Инженеры NASA применяют интегралы, чтобы прокладывать траектории полетов: когда одна из первых темнокожих женщин-математиков Кэтрин Джонсон рассчитывала сначала орбиту миссии Алана Шепарда “Фридом-7”, состоявшейся в 1961 году, а год спустя – орбиту миссии Джона Гленна “Френдшип-7”, она не могла не прибегать к интегрированию. К счастью, она была в нем профи – и ее авторитет был настолько велик, что Гленн даже попросил, чтобы отныне только она проверяла данные с нового электронного компьютера[109].

Муки математического анализа

Сегодня интегрирование – довольно простая операция, которая входит в стандартный инструментарий математика. Тем не менее открыть его оказалось чрезвычайно сложно. Лейбниц и Ньютон пришли к нему с разных сторон. Ньютон так далеко продвинулся в сфере дифференцирования, что даже не пытался объяснить свои приемы современникам. Однажды он довольно высокомерно заявил, что “меньше чем за четверть часа” может вычислить площадь области под любой кривой. Столь головокружительная скорость, добавил он, достигается благодаря “источнику, который [его] питает, но ничего доказывать [он] при этом не [собирается]”[110]. Он рассчитывал, что знание графиков и геометрии поможет его современникам изучить основы этой операции.

Несомненно, многие из них тогда почувствовали себя идиотами. Математический анализ часто обескураживает людей при первой встрече с ним. Хотя мы в состоянии следовать алгоритму и получать верные ответы, идеи, лежащие в основе математического анализа, его производные и требуемый полет фантазии поистине поражают своей сложностью. Архимед сделал первые шаги к решению схожих задач более чем за тысячу лет до того, как Ньютон и Лейбниц предложили свои решения. Такие светила математики, как Декарт и Ферма, сумели разглядеть лишь тень анализа. Чтобы по-настоящему погрузиться в него, нужно представлять себе бесконечное и бесконечно малое. Нужно понимать (а Ферма и Декарт не понимали), что касательная к кривой (прямая, которая касается ее в одной точке) показывает крутизну кривой в точке соприкосновения и позволяет узнать все характеристики этой кривой. Нужно уметь выстраивать длинные цепочки сумм, называемые бесконечными рядами, как умели это и Ньютон, и Лейбниц, а также замечать параметры, исключающие друг друга и открывающие скрытый путь сквозь густой подлесок ваших производных. Неслучайно математический анализ развивался целое тысячелетие.

Сейчас вы, возможно, задаетесь вопросом, кто вообще мог такое придумать. Как правило, это люди, с которыми вам, пожалуй, не захотелось бы водить компанию. Например, Пьер Ферма, который днем работал судьей и адвокатом в судах Тулузы, вечера проводил в уединении от семьи за решением математических задач. Он при этом не стремился поделиться своими открытиями с миром и не опубликовал ни одного из своих выводов. Мы знаем о них лишь потому, что их обнаружили в его записных книжках и дневниках уже после его смерти.

Впрочем, Ферма писал о некоторых своих открытиях другим математикам. Так о нем и услышал Рене Декарт, которому рассказал о нем их общий знакомый Марен Мерсенн. Декарт, в отличие от Ферма, был не лишен самодовольства. Один современник назвал его “холодным и себялюбивым”. Хвастаясь, что нашел способ строить касательные к любой кривой, Декарт сказал: “Эта задача является наиболее полезной не только среди известных мне, но также среди всех тех задач, которые я когда-либо желал знать в геометрии”[111].

Декарт ужасно огорчился, узнав от Мерсенна, что Ферма решил эту задачу на десять лет раньше. Чтобы выставить себя в лучшем свете, Декарт изучил доказательства Ферма и во всеуслышание заявил, что нашел в них целый ряд досадных ошибок, хотя на самом деле ошибок в них не было.

Через несколько десятков лет Ньютон отплатил Декарту, назвав того “очередным нерадивым математиком”[112]. Самого Ньютона, возможно, и не получилось бы упрекнуть в нерадивости, но человеком он был чрезвычайно неприятным. Говорят, он редко смеялся, а сам он признавал, что в детстве однажды пригрозил сжечь дом матери и отчима вместе с ними внутри. Он называл всех, кто безуспешно пытался понять его труды, “маленькими недоучками” и всячески избегал общения с людьми, которых не считал себе равными. “Я не вижу ничего желательного в славе, даже если бы я был способен заслужить ее, – сказал он однажды. – Это, возможно, увеличило бы число моих знакомых, но это как раз то, чего я больше всего стараюсь избегать”[113].

Лейбниц, в свою очередь, был тоже весьма доволен собой. Его работа в сфере математического анализа, хвастался он, составляла “огромную часть открытий, сделанных в этой области”. Он тоже не любил людей, но хотя бы сожалел об этом. Однажды он пожаловался другу, что “нехватка вежливости часто портит первое впечатление” о нем. Он всю жизнь был одинок и не имел детей. Декарт и Ньютон тоже не женились и не оставили потомков. Ферма хотя бы обзавелся семьей, пусть и предпочитал не тратить на нее время. И все же никто из перечисленных не сравнится в своем коварстве с первыми людьми, нашедшими применение трудам Ньютона и Лейбница. Их жизни превратились в мыльную оперу, полную диверсий, злорадства, клеветы и старого доброго соперничества между братьями. Вы наверняка уже слышали прежде о Борджиа. Но готовы ли вы ко встрече с Бернулли?

Беспокойные братья Бернулли

В середине XVII века Бернулли были известны лишь как торговцы специями из Базеля[114]. Математические наклонности первым из них продемонстрировал