Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

class="p1">Ответ: ширина равняется 5, а длина – 12. Но приглядитесь – разве эта формула вам не знакома? Если я чуть изменю изначальное равенство, чтобы получилось

ax2 + bx + c = 0,

то вы сможете решить его по формуле, усвоенной в школе, – формуле для решения квадратного уравнения:

Как видите, когда-то в школе вы узнали не что иное, как метод расчета налогов, которому уже 5000 лет. Впрочем, никто из нас не стал вавилонским сборщиком податей, так зачем же школьникам сегодня решать квадратные уравнения? Это справедливый вопрос, и спорят об этом даже сами учителя математики.

Кривые космоса

На отраслевой конференции, состоявшейся в 2003 году, заслуженный британский учитель математики Терри Блейден высказал мнение, что с квадратными уравнениями лучше знакомить только тех учеников, которым действительно нравится математика[71]. Он отметил, что большинству молодых людей для жизни вполне достаточно и базовой математической грамотности. Других учителей математики настолько возмутило его предложение, что один из них даже ответил ему с политической арены. Тони Макуолтер не один десяток лет преподавал математику, а затем был избран в парламент. “Квадратное уравнение, – заявил он в палате общин, – это не темная комната без мебели, где человеку приходится сидеть на корточках. Это дверь в комнату, полную беспрецедентных достижений человеческого разума. Если не войти в эту дверь – или если сказать, что за ней не найдется ничего интересного, – можно навсегда лишиться доступа к значительной части того, что мы привыкли считать человеческой мудростью”[72].

Правда ли это? Даже если квадратные уравнения и кажутся людям сложными, это не мешает им ценить человеческие знания и мудрость; в конце концов, мало кто из нас решал квадратные уравнения хоть раз после того, как сдал выпускной экзамен. Но людям, не связавшим свою жизнь с математикой, я все равно могу предельно честно сказать: освоив алгебру, вы развили свою способность к абстрактному мышлению и научились уделять внимание тому, о чем ваш мозг предпочел бы не думать. Тысячелетний опыт и ряд любопытных современных исследований показывают нам, что (как и в случае с геометрией) работа с абстрактными переменными и числовыми связями между ними действительно благотворно сказывается на нашем мышлении[73]. Алгебра делает человека изобретательным, плодовитым и усидчивым, прививает ему способность нестандартно мыслить и доводить логические рассуждения до конца. Хороший пример – немецкий физик Георг Кристоф Лихтенберг.

В 1786 году Лихтенберг написал своему другу Иоганну Бекману довольно непритязательное письмо[74]. “Однажды я предложил молодому англичанину, которого учил алгебре, одно упражнение”, – написал Лихтенберг. По условиям задачи нужно было “найти лист бумаги, для которого все книжные форматы – ин-фолио, ин-кварто, ин-октаво, секстодецимо – были бы подобны друг другу”.

Это напоминает работу с подобными треугольниками, только здесь предметом исследования становятся прямоугольники. Лихтенберг хочет узнать, как найти такое соотношение длины и ширины листа бумаги, которое позволяет уменьшить самый крупный формат, “ин-фолио”, вдвое и получить формат “ин-кварто”, затем уменьшить его вдвое до “ин-октаво” и так далее. Ответ ученика показался Лихтенбергу весьма любопытным, и он сравнил полученные размеры с форматом бумаги, лежащей в ящике его письменного стола. “Установив это отношение, я решил применить его к листу бумаги, воспользовавшись ножницами, – рассказывал он Бекману, – но с радостью обнаружил, что формат уже соответствует искомому. На такой бумаге я и пишу это письмо”.

И здесь он перешел к делу. Лихтенберг поинтересовался, не знаком ли Бекман с кем-нибудь из производителей бумаги, – ему хотелось узнать, как именно они пришли к использованию такого формата, ведь это, по его словам, “вряд ли стало случайностью”. Может, кто-то в бумажной промышленности уже произвел алгебраические расчеты?

Нам это не известно. Но письмо Лихтенберга, в котором описывается простое алгебраическое упражнение и неожиданное открытие того, что математическое решение, возможно, появилось естественным образом, легло в основу европейского стандарта форматов бумаги. В 1911 году лауреат Нобелевской премии по химии Вильгельм Оствальд призвал к использованию соотношения Лихтенберга в качестве международного стандарта в производстве бумаги[75]. В 1921 году такой стандарт был принят в Германии и быстро распространился по Европе. В 1975 году его утвердили в качестве официального формата документов ООН. Вероятно, вам он известен как серия форматов “А”. Наверняка вы даже сегодня держали в руках листок формата А4, если только живете не в Северной Америке, которая так никогда и не ощутила необходимости перейти на соотношение Лихтенберга. Это соотношение – бесценный ресурс для всех, кому нужно сохранять пропорции, что при увеличении плаката, что при уменьшении чертежа бумажного самолетика.

Задача Лихтенберга о размерах бумаги прекрасно сформулирована на языке риторической алгебры. Ее решение мы уже встречали раньше: длина и ширина относятся друг к другу как 2 к 1. Площадь листа формата А0 составляет 1 м2, а значит, его стороны равны 1,189 м и 0,841 м. Поверните его вертикально и разрежьте пополам по ширине, и у вас получатся два листа формата А1, длина каждого из которых равна ширине листа А0, а ширина – половине длины А0. Повторите операцию с каждым из листов – и получите четыре листа формата А2. У всех листов будет одинаковое соотношение длины и ширины. Разрежьте А2 пополам по ширине и получите… впрочем, вы уже догадались.

Алгебраическая формула, лежащая в основе этого стандарта, не слишком сложна. Если бы ученик Лихтенберга применял “символическую” алгебру и обозначил бы длину искомого листа за x, а ширину – за y, то ему нужно было приравнять отношение x к y к отношению y к половине x. Он мог бы записать следующее равенство:

а затем перестроить его таким образом:

что значит:

Макуолтер справедливо отметил, что алгебра определила наши интеллектуальные достижения, и форматы бумаги показывают одно из множества применений квадратных уравнений в реальном мире. Они также позволяют компаниям рассчитывать прибыль при запуске новых продуктов и принимать спутниковые сигналы при помощи параболической антенны. Но полезнее всего квадратные уравнения оказываются при описании природных процессов, например при анализе траекторий движения небесных тел. Чтобы понять почему, давайте посмотрим на кривые, которые задаются уравнениями второй степени.

Серия форматов бумаги “А”, у которых одинаковое соотношение сторон

Если мы представим любое такое уравнение на графике, рассчитав значения y для каждого значения x, у нас получится