Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

алгебраические знания своей эпохи[80]. Кардано услышал о том, что Тарталья принял участие в состязании по решению кубического уравнения пониженной степени, и попросил его предоставить решение для книги. Понимая ценность этого знания, Тарталья ответил отказом. Кардано повторил свою просьбу и пообещал опубликовать решение Тартальи, обозначив авторство. Тарталья не согласился и на этот раз. Тогда Кардано предложил познакомить Тарталью с генералами, которые готовы щедро заплатить за его знания в области математики артиллерии. Тарталья не уступал. В конце концов Кардано сделал странное предложение: если Тарталья сообщит ему решение – как математик математику, – он будет ему благодарен, но публиковать его в книге не станет. Непонятно почему, но Тарталья на это согласился.

Получив решение Тартальи, Кардано и его ученик Лодовико Феррари взялись за полноценное кубическое уравнение. Они решили его – и пошли еще дальше. Отталкиваясь от новаторского метода Тартальи, Феррари решил и уравнение четвертой степени, куда добавляется x4. Как и в случае с кубическим уравнением, практического применения для уравнения четвертой степени не было, но Кардано включил все решения в свою рукопись. Впрочем, опубликовать он ничего не мог, потому что в основе всех выкладок лежало решение Тартальи, которое он поклялся не обнародовать.

Выход из положения нашел школьный учитель из Брешии Дзуан да Кои. Он был знаком с Тартальей и слышал, что Сципион дель Ферро передал свое решение кубического уравнения своему зятю и Фиоре. Да Кои предложил Кардано и Феррари навестить зятя дель Ферро. Они последовали его совету – и узнали тайну, в которую был посвящен Фиоре и которую Тарталья раскрыл самостоятельно. Хотя ученые и сегодня спорят об этичности его поступка, Кардано опубликовал свою книгу, убедив себя, что с формальной точки зрения не нарушает клятву, данную Тарталье.

Тарталья разозлился, узнав, что теперь его добытое тяжким трудом (и невероятно ценное) решение кубического уравнения пониженной степени доступно любому, кто купит книгу Кардано. Они с Кардано обменялись несколькими открытыми письмами, и тон Тартальи с каждым последующим из них становился все более ядовитым. Оскорбленный ученый требовал восстановления справедливости на математической дуэли. Кардано, у которого на карту было поставлено больше, отказался участвовать в поединке. Затем в родном городе Тартальи, Брешии, открылась заманчивая вакансия. Заика подал прошение о принятии на должность, и его одобрили на одном условии: он должен был сразиться на публичной дуэли с учеником Кардано Лодовико Феррари.

Феррари рвался в бой с человеком, который не раз порочил репутацию его любимого учителя. Противники обменялись задачами и сошлись в поединке на глазах у любопытствующей толпы в саду братьев Дзокколанти в Милане 10 августа 1548 года. К несчастью для Тартальи, Феррари лучше него разбирался в решениях уравнений третьей и четвертой степени и использовал их при составлении задач, чтобы разгромить соперника. Он задавал такие вопросы:

Есть куб, сумма ребер и граней которого равна пропорциональному отношению этого куба к одной из его граней. Каков размер куба?

и еще:

Найдите два таких числа, которые при сложении дают столько же, сколько куб меньшего из них, прибавленный к произведению утроенного меньшего числа и квадрата большего числа, а сумма куба большего числа и утроенного квадрата меньшего в 64 раза больше суммы этих чисел.

и еще:

Есть прямоугольный треугольник, в котором построена высота, и сумма одной из сторон с противоположной частью основания дает 30, а сумма другой стороны с другой частью основания дает 28. Какова длина одной из сторон?

Тарталья решил не все задачи. Он покинул Милан с позором. Он все равно получил должность в Брешии, но занимал ее лишь полтора года, после чего разочарованные работодатели перестали ему платить. Феррари, напротив, стал местной знаменитостью и сам занял теплое местечко: он стал старшим налоговым инспектором императора Священной Римской империи в Милане. Хотя практического применения такой алгебре по-прежнему не находилось, алгебраические навыки Феррари – которые он вполне мог больше и не применять – позволили ему разбогатеть и отойти от дел.

Давайте сделаем паузу и подумаем, что мы сами испытали бы, если бы нам предложили решить кубическое уравнение пониженной степени x3 + 6x = 20. По плечу ли оно вам? Кардано в своем “Великом искусстве” предложил такое решение:

Возведите в куб одну треть коэффициента при x; добавьте получившееся число к квадрату половины постоянной уравнения; извлеките из всего этого квадратный корень. Далее повторите описанное и прибавьте к одному из результатов число, уже возведенное в квадрат, а из другого вычтите половину того же… Затем отнимите кубический корень первого от кубического корня второго, и останется значение x.

Довольно сложно, правда? Но в реальности это просто геометрия. Сначала Кардано представляет огромный куб, который делит на шесть блоков и кубов поменьше, – по сути, он занимается достройкой квадрата в 3D. Он знает размеры каждой из фигур и знает, что сумма их объемов дает объем большого куба, который они составляют. Он приводит это к квадратному уравнению и получает ответ[81]: x = 2. Как видите, это легко проверить. Именно поэтому математические дуэли так нравились зрителям: было сразу понятно, преуспели ли противники в своих трудах.

В “Великом искусстве” Кардано хотел представить универсальное решение, которое подходило бы для любого кубического уравнения. Но это было нелегко, поскольку ему приходилось прорабатывать множество вариантов. Например, по отдельности разбирать такие вариации, как x3 + mx = n и x3 + n = mx. Даже имея лишь базовую математическую подготовку, сегодня мы перестроили бы эти уравнения так, чтобы они повторяли друг друга по форме при отрицательном значении m или n. Однако на том этапе математической истории еще не было устоявшейся формы для записи уравнений в разных формах, а сама идея существования отрицательных чисел по-прежнему вызывала дискомфорт. Потому Кардано и разбирал два этих уравнения в разных главах (и потому Тарталья и разработал разные решения для x3 = px + q и x3 + q = px).

Но в конце концов хитрость в стиле достраивания квадрата и подмены x целым выражением позволила вывести универсальное решение для уравнения, которое сегодня мы записали бы так:

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Благодаря описанной хитрости оно превращается в уравнение, которое можно решить с помощью формулы Кардано для кубического уравнения пониженной степени. В “Великом искусстве” подробно описывается, как Феррари нашел подобный способ решения уравнений четвертой степени – с x4.