Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

class="p1">Что насчет уравнения пятой степени, в котором фигурирует грозный x5? Кардано и Феррари предположили, что привычный фокус с подстановкой выражения на место x поможет решить и его. Но в итоге они признали, что не сумели найти подходящий метод. И правильно сделали, когда отказались от дальнейших его поисков. Почти триста лет спустя, в 1824 году, норвежский математик Нильс Абель доказал, что решить такое уравнение методом подстановки невозможно.

Но уравнение пятой степени все же поддается решению. Для этого нужны так называемые эллиптические функции (или эллиптические кривые), которые сегодня применяются в криптографии – науке о хранении тайн. Мы поговорим об этом позже, а пока давайте рассмотрим, где в наши дни находится применение квадратным, кубическим и уравнениям четвертой степени. На первый взгляд, это продолжение труда Тартальи. Но если Заика описывал кривые траектории полета пушечных ядер, то современные новаторы чаще занимаются изгибами физических тел, например автомобиля “Форд Таурус”. И здесь мы видим, как алгебра по-прежнему помогает решать некоторые из самых насущных проблем продвинутого технологического общества.

Изгибы мира

В 1974 году галлон бензина в США стоил около 40 центов. В 1981 году тот же объем бензина стоил уже 1 доллар 31 цент. Американские автопроизводители поняли, что им нужно вмешаться в ситуацию, если они хотят спасти автомобильный транспорт. Но как? Пересмотреть конструкцию двигателей, чтобы сделать их более производительными, оказалось слишком сложно. Гораздо проще было повысить аэродинамику автомобилей.

Первым в полной мере аэродинамическим американским семейным автомобилем стал “Форд Таурус”, выпущенный в 1986 году. Сегодня в это сложно поверить, но американцам тех времен он казался совершенно непривычным – настолько непривычным, что в 1987 году Пол Верховен даже сделал его машиной Робокопа в своем фильме о том, как полиция будущего проводит эксперимент по созданию киборга. “Таурусу” уже стукнул год, но внешне он все еще оставался автомобилем будущего. Почему? Все дело в изгибах. Американские автомобили, выходившие до “Тауруса”, точнее всего будет назвать угловатыми. Прямые линии их кузова облегчали производство, а то, что угловатость повышала сопротивление воздуха и снижала топливную эффективность, никого не беспокоило: бензин стоил дешево. По другую сторону Атлантики, однако, все было иначе.

“Форд Таурус” 1986 года. IFCAR, изображение из открытого источника, via Wikimedia Commons

Из-за особенностей налогообложения топливо в Европе всегда стоило дороже. В 1970-х годах цены на нефть росли, и европейцам приходилось пускать все больше средств на эксплуатацию своих автомобилей. Но они нашли частичное решение проблемы и стали производить автомобили с обтекаемым аэродинамическим кузовом.

К счастью для Ford, в компанию недавно перешел работать американский дизайнер Джек Телнак, который прежде работал в Европе. Находясь по другую сторону океана, он наблюдал за эволюцией топливосберегающих изгибов, которые мы сегодня считаем отличительной чертой европейского автомобильного дизайна.

Инженеры Ford не могли просто ввести уравнение нужной кривой в формовочный станок. Не могли они и загрузить в компьютер тысячи точек, чтобы построить каждую кривую в проекте, – это было бы крайне неэффективно. Им необходимо было найти другой способ создания требуемых кривых. Но Телнак знал, что к началу 1960-х годов два французских автомобильных инженера-конструктора уже решили эту проблему.

Хотя эти кривые назвали кривыми Безье, их, пожалуй, стоит считать совместной разработкой Пьера Безье из Renault и Поля де Кастельжо из Citroën. Большую часть математических расчетов провел де Кастельжо. Но в машинном зале новую разработку первым применил Безье, и именно он дал другим возможность последовать их примеру.

Чтобы понять, что такое кривая Безье, представьте два прямых отрезка, формирующих две стороны треугольника. Постройте их в любом месте листа под любым углом друг к другу. Назовите один AB, а другой – BC. Теперь разделите отрезки на равное число секций – скажем, на десять. Пронумеруйте их от A = 0, чтобы B = 10, а затем от B = 0, чтобы C = 10. Теперь постройте прямые, соединяющие 1 с 1, 2 с 2 и так далее.

Кривая Безье, построенная из прямых

Видите кривую? Вообще-то ее там нет, ведь вы построили одни прямые. Но каждая из ваших прямых – “касательная” к кривой, то есть прямая, всего в одной точке соприкасающаяся с кривой, точная форма которой определяется положением A, B и C относительно друг друга.

Безье назвал точку B контрольной, поскольку при сдвиге B получается другая кривая. При одной контрольной точке кривая всегда задается квадратным уравнением, содержащим значения A, B и C. Если добавить еще одну контрольную точку, получится кривая, которая задается кубическим уравнением. Если добавить третью – кривая четвертой степени. Если вам не хочется добавлять контрольные точки, можно добавлять кривые. Подобно тому, как Кардано и Феррари нашли решение уравнения четвертой степени, приведя его к кубическому уравнению (а кубическое – к квадратному), вы можете построить кубическую кривую Безье, установив, как взаимодействуют две квадратные кривые, а кривую четвертой степени – с помощью двух кубических.

Обтекаемый “Форд Таурус” был обласкан критиками и – что важнее, учитывая катастрофическое падение позиций Ford на автомобильном рынке, – стал отлично продаваться. Напрашивается вполне резонный вывод о том, что алгебра спасла американскую автомобильную промышленность[82].

Так на свет появились не только современные аэродинамические автомобили. Пользуясь этим методом для построения любых кривых, можно проектировать мосты, здания и самолеты. Впрочем, он также находит применение и в менее очевидных сферах, например в дизайне шрифтов. Эта книга – вне зависимости от того, бумажный у вас экземпляр или электронный, – существует благодаря алгебре. Используя шрифт формата TrueType, например Times New Roman, Helvetica или Courier, вы строите квадратные кривые Безье, которые определяют, где размещать чернила или пиксели[83].

Пожалуй, не стоит удивляться, что дизайнеры применяют алгебру для проектирования объектов не только в реальном мире, но также и во множестве виртуальных. Некоторые расчеты для них вообще не отличаются от необходимых в реальности: так, дизайнерам видеоигр приходится использовать в программах уравнения второй, третьей и четвертой степеней, чтобы их виртуальные миры – и оружие, которое в них используется, – имели реалистичные характеристики. Архитекторы следуют алгебраическим правилам, чтобы не расходовать пространство впустую и оптимизировать пропорции помещений. Предприниматели применяют квадратные уравнения для оптимизации ценообразования и учета при запуске новых продуктов. Со всем этим, вероятно, справились бы и Кардано, Тарталья и Феррари – и многое теперь автоматизировано с помощью компьютерных программ, – но алгебра остается с нами, определяет облик окружающей нас среды и наши впечатления от взаимодействия