Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Однажды, налив чашку горячего чая и пережевывая кусок зернового хлеба (тьфу ты, а я думал, что взял белый!), я присел на диван рядом со своим другом Джеймсом, учителем английского.

– Как дела? – поприветствовал я его.

Джеймс воспринял этот дежурный вопрос так, как он принимал все: с полнейшей серьезностью.

– На этой неделе я счастлив, – ответил он. – С некоторыми вещами еще есть проблемы, но все становится лучше.

Очевидно, в первую очередь я являюсь учителем математики, а уже во вторую – человеческим существом, потому что на откровение своего друга я ответил следующим образом:

– То есть функция твоего счастья принимает средние значения, но первая производная является положительной.

Джеймс мог вырвать бутерброд из моей руки, выплеснуть свой чай мне в лицо и завопить:

– Наша дружба кончена!

Вместо этого он улыбнулся, наклонился и – клянусь вам, все так и было! – сказал:

– Звучит увлекательно. Объясни мне, что это значит.

– Ну, – начал я читать лекцию, – изобрази график изменения уровня своего счастья со временем. Линия проходит на средней высоте, но в данный момент поднимается – это и есть положительная производная.

– Понятно, – ответил он. – Значит, отрицательная производная означает, что дела идут хуже?

– Ну, – я увильнул от прямого ответа, – в каком-то роде.

Я демонстрировал педантичность, за которую математиков так любят. (Или правильно сказать «критикуют»?)

– Отрицательная производная означает, что значение уменьшается. Для некоторых функций – например, личного долга или физической боли – хотелось бы иметь отрицательную производную. Но в случае со счастьем – да, это не очень хорошо.

Это был довольно необычный первый урок по дифференциальному исчислению. Большинство студентов постигают эти идеи не с помощью зыбкой психологии функции «счастья», а через ясную и лаконичную физическую картину «положения». Например, обозначим положение велосипедиста на велодорожке как p. В начальной точке p = 0; через 800 м p = 0,8 км.

Что выражает здесь производная? То, как быстро p изменяется в определенный момент времени. Мы называем ее p´ (произносится «p штрих») или (более наглядно) «скорость».

Большое значение p´ – скажем, 14 м/с – означает, что положение изменяется быстро, скорость высока. Маленькое значение – к примеру, 0,6 м/с – говорит о низкой скорости. Если p´ равно нулю, то положение не меняется вообще; велосипед стоит на месте. А если p´ отрицательно, то мы движемся по дорожке назад: велосипедист сменил направление.

Из нашего первоначального графика (определяющего положение в каждый момент) мы можем вывести совершенно новый, определяющий скорость в каждый момент. Вот откуда взялось слово «производная» – она выводится, или производится.

Джеймс, умница, проникся математическим анализом так, будто это было неким видом инопланетной поэзии. Как учитель английского он был профессиональным исследователем языка и способности слов фиксировать человеческий опыт. В сухом языке производных он, кажется, нашел своеобразную «литературность».

– А есть еще и вторая производная, – сказал я.

Джеймс серьезно кивнул:

– Расскажи мне.

– Это производная производной, она говорит о том, как меняется величина изменений.

Джеймс нахмурился по вполне понятной причине: это была какая-то бессмыслица.

Я попытался снова.

– Производная – это величина улучшения твоего состояния. Вторая производная спрашивает: ты изменяешься все быстрее и быстрее? Или улучшение замедляется?

– Хм-м-м-м, – Джеймс прикусил губу. – Я бы сказал, что быстрее и быстрее. Значит, вторая производная… положительная, верно?

– Да!

– А если улучшение замедляется, – продолжил он, – тогда первая производная по-прежнему остается положительной, а вторая становится отрицательной.

– Да.

– Мне это нравится, – сказал Джеймс. – Я должен научить этому всех своих друзей. И когда они будут спрашивать, как мои дела, я смогу сообщать им о своем эмоциональном состоянии с помощью всего нескольких показателей.

– Что-то вроде: h положительная, h штрих отрицательная, h два штриха положительная?

– О-о-о, дай подумать! – Джеймс воспринял мое заявление как лингвистическую загадку, краткую и безыскусную форму записи. – Это означает… Я счастлив… И я становлюсь менее счастлив… Но снижение моего уровня счастья замедляется?

– Все верно.

Для выражения тонких оттенков эмоций этот язык может показаться неестественным или топорным, как заявления «Человек счастлив!» или «Человек грустит!». Но, как и все производные, это что-то вроде физической метафоры – аналогия движения через пространство.

Как мы уже видели на примере велосипеда, производной положения является скорость. А производная скорости? Это ускорение. (Его также можно назвать p´´, или «p два штриха».)