Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Может ли обозначение производной со штрихом провернуть такие фокусы со столь разнообразными производными? Да бросьте! Только проворная d Лейбница может справиться с задачей с подобной грациозностью и точностью. И это делает язык Лейбница идеальным для обсуждения самого полезного применения математического анализа – искусства оптимизации.

Не знаю, как насчет вас, но я пришел в бизнес по производству плюшевых медведей не для того, чтобы завести друзей. Я в нем даже не для того, чтобы делать плюшевых хищников, которые портят здоровье детей и ослабляют естественный страх перед медведями. Я здесь, чтобы делать деньги, и вследствие этого на выходе для меня имеет значение только одна переменная: выгода.

Чтобы максимально увеличить выгоду, мы не должны ставить слишком низкую цену. Скажем, изготовление плюшевого мишки стоит $5, в таком случае продавать его за те же $5 – это не бизнес, а благотворительность. $5,01 немногим лучше: конечно, мы продадим множество медведей по такой низкой цене, но, даже если их будет миллион, наша прибыль составит всего $10 000.

С другой стороны, слишком задирать цену мы тоже не хотим. Если мы будем просить $5000 за одного медведя, то, возможно, какой-нибудь наивный миллиардер и купит одного. А может быть, и нет. В любом случае мы продадим слишком мало, чтобы получить какую-либо существенную выгоду.

Что нам нужно, так это производная. Если мы будем поднимать цену с бесконечно малым приращением, как это скажется на выгоде?

Производная положительна? Это означает, что подъем цены увеличит выгоду. Иными словами, мы назначаем слишком низкую цену.

Отрицательная производная? Это означает, что снижение цены принесет выгоду, поскольку привлечет больше клиентов. Иными словами, мы назначаем слишком высокую цену.

Мы хотим найти особый момент – цену, при которой производная точно равна нулю.

Максимум – это момент перехода, когда производная из положительной превращается в отрицательную. Между тем минимум – это полная противоположность: момент, когда производная из отрицательной превращается в положительную. Логика на самом деле очень простая: если ты в минимуме, просто двигайся вперед – и подъем начнется. Это лучшее, что можно сделать.

Мы определили максимум не по его общим свойствам («это самая высокая из всех точек графика»), но по частным характеристикам. Посмотрите на левую часть графика, она поднимается вверх. Посмотрите на правую – она снижается. Посмотрите прямо на обозначенную на нем точку: здесь производная равна нулю. Это определение максимума исходя из анализа бесконечно малых. Это очень остроумный трюк, похожий на то, как определить вершину горы с помощью анализа образца почвы.

Первой публикацией в истории математического анализа была статья Лейбница, вышедшая в 1684 г., – «Новый метод максимумов и минимумов» (Nova Methodus pro Maximis et Minimis). «В мире не происходит ничего, – однажды сказал математик Леонард Эйлер, – в чем не был бы виден смысл какого-либо максимума или минимума»[9].

Когда Лейбницу было слегка за двадцать, он решил присоединиться к эксклюзивному сообществу алхимиков. (Да, это был XVII в., все занимались этим.) Чтобы доказать свою алхимическую состоятельность, Лейбниц составил список профессиональных жаргонных слов, из которых соорудил длинное, выразительное и достаточно бессмысленное письмо с просьбой о приеме. Это сработало: пораженные алхимики выбрали его своим секретарем. Но – ну еще бы! – Лейбниц разглядел правду через обман. Он ушел через несколько месяцев, позднее объявив группу «братством золотодобытчиков».

Для меня в этом весь Лейбниц. Во-первых, вы овладеваете языком. Затем появляется истина, какой бы она ни была. Менее чем через десять лет после овладения невнятной галиматьей алхимиков этот резкий молодой человек разработал математический словарь, который миллионы людей используют по сей день.

Смог ли он когда-либо превратить свинец в золото? Нет. Он сделал лучше: превратил строчную букву d в неподвластный времени язык мгновения.

На первых страницах «Жизни на Миссисипи» Марк Твен[10] показывает читателям то, чего они так страстно желают, – статистику. Длина реки Миссисипи составляет 6920 км. Ее бассейн – 3 237 485 км2. Ежегодно она наносит 406 млн тонн ила. «Если бы эту грязь уплотнить, – рассчитывает Твен, – вышел бы массив площадью в квадратную милю (1,6 км2. – Здесь и далее прим. ред.) и вышиной в двести сорок один фут (73 м)». Это все чрезвычайно познавательно, хотя, возможно, несколько сухо для писателя, чьи книги то провозглашались самыми забавными, то запрещались как богохульные.