Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Любопытный молодой человек пошел дальше. (На этот раз никаких булавок, только размышления.) Что, если притяжение простирается дальше вершин гор? Что, если его сила действует гораздо дальше, чем мы можем предположить?

Что, если она достигает Луны?

Аристотель никогда не верил в это. Звезды выстраиваются в идеальный порядок, словно ноты в музыкальной симфонии или родственники моей жены, организующие торжественный обед. Жизнь на Земле – анархия, источник беспорядка, как я, когда устраиваю ужин для друзей. Как эти два королевства могут следовать одним и тем же законам? Какой сумасшедший, пытавшийся выколоть себе глаза, решится объединить земное и небесное?

Весной 1666 г. этот сумасшедший 23 лет от роду отдыхал в тенистом саду своей матери. Он увидел, как падает яблоко, а затем, в порыве вдохновения, представил еще одно падающее яблоко, на этот раз на том расстоянии, где находится Луна. Один маленький шаг для Apple, гигантский скачок для фрукта.

Ньютон приблизительно представлял, о каком расстоянии идет речь: если взять за единицу расстояние от поверхности Земли до ее центра, то Луна находится примерно в 60 таких единицах.

Как может вести себя притяжение при таком огромном удалении?

Даже самые высокие горы не предлагают никакой подсказки. В масштабах космоса, по сравнению с Луной, вершина Эвереста, считай, что вовсе не удалена от поверхности Земли – так, выступает над ней на толщину волоска… Но давайте предположим – с помощью грандиозного и слегка нарушающего ход истории «скачка», – что притяжение ослабевает на больших расстояниях. Чем больше вы удаляетесь, тем слабее его сила. Сейчас я ссылаюсь на знаменитый закон обратного квадрата Ньютона.

Если расстояние увеличивается вдвое, то сила притяжения составляет 1/4.

Если возрастает втрое – 1/9.

При десятикратном увеличении – всего 1/1000.

Наше великолепное яблоко, путешествующее по космосу, оказавшись в 60 раз дальше от ядра Земли по сравнению со своими висящими на яблоне братьями и сестрами, подвергнется всего 1/3600 силы притяжения. Если вы никогда не делили на 3600, позвольте мне сообщить: этот процесс делает вещи намного меньше.

Бросьте яблоко у поверхности Земли, и за первую секунду оно упадет на 4,9 м. Это примерно уровень второго этажа здания.

Бросьте «астрояблоко» с высоты, на которой находится Луна, и за первую секунду оно переместится чуть больше чем на один миллиметр. Это толщина прекрасной во всех отношениях кредитной карты.

В те времена движение Луны по орбите оставалось тайной. Считалось, что лучше всего его объясняет вихревая теория Рене Декарта, согласно которой все небесные объекты следуют своими маршрутами благодаря кружащимся, как в водовороте, потокам частиц, словно игрушки в ванне, устремляющиеся к сливу, когда из него вынимают пробку. Но наступило время перемен – annus mirabilis Ньютона, его «чудесный год», который «чудесным» же образом растянулся на 18 месяцев. Пережидая в Вултсорпе, у матери, эпидемию чумы, свирепствовавшей в Лондоне, Ньютон разработал идеи, которые легли в основу современной математики и физики. Он сформулировал законы движения, раскрыл оптические секреты призмы, не забывал обращать внимание на предметы быта и изобрел математический анализ.

А заодно, благодаря падению яблока, сверг с пьедестала вихри Декарта.

Как знал предшественник и брат Ньютона по духу Галилей, горизонтальное движение не влияет на вертикальное. Оставьте одно яблоко падать строго вертикально, а другое точно такое же яблоко киньте горизонтально в любую сторону, и они ударятся о землю в один и тот же момент. Разумеется, их горизонтальные траектории разойдутся, но вертикальное движение определяется одной и той же единовластной силой – притяжением.

Теперь поднимите свои яблоки на вершину очень высокой горы и бросьте их с силой супермена. Поздравляю! Вы попали в знаменитую иллюстрацию из шедевра Ньютона «Математические начала натуральной философии», демонстрирующую диковинные физические процессы падения с большой скоростью.

Здесь благодаря искривлению земной поверхности наше аккуратное разделение вертикального и горизонтального движения исчезает. То, что в один момент является горизонтальным, в другой становится вертикальным. Чем сильнее бросок, тем дольше продолжается падение.

Бросьте яблоко с силой, как это делает питчер Высшей бейсбольной лиги, и оно пролетит небольшое расстояние, прежде чем упасть на землю. Оно может добраться из точки А в точку В.

Бросьте яблоко по-настоящему сильно, как питчер «Ред Сокс» в сторону наглого игрока «Янкиз», и горизонтальное движение уведет фрукт от поверхности Земли, продлив падение. Возможно, он проделает весь путь до точки С.

Бросьте яблоко невообразимо сильно, как Генри Ровенгартнер[3] на стероидах, и оно полетит от Земли так быстро, что каждый момент падения будет просто возвращать яблоко на первоначальную высоту. Таким образом, яблоко сможет падать вечно.

Орбита – это всего лишь постоянное падение, и никакие картезианские[4] вихри здесь не требуются.

Как все это работает с нашим отважным лунным яблоком? Ну, это задача для математического анализа, так что возьмем бесконечно малый момент – одну-единственную секунду путешествия. На таком коротком отрезке изогнутую линию орбиты можно считать прямой линией.

Здесь мы обозначим расстояние, которое пролетит яблоко, если будет подвергаться воздействию только силы притяжения.