Богиня маленьких побед - Янник Гранек

– Любопытное умопостроение!

– Чтобы ты могла проследить за моей мыслью дальше, я должен объяснить разницу между количественными и порядковыми числительными. Количественное числительное позволяет сосчитать элементы множества: всего у тебя три камешка. В то время как порядковое выстраивает эти элементы в определенном порядке, превращая их в первый, второй и третий камешки. Количественное числительное бесконечного множества «считает» число элементов в нем, но не располагает ни в каком порядке. «Количественность бесконечности» символизирует еврейская буква «алеф».

Он начертал на песке эзотерический символ «X» и вытер палец носовым платком. Я протянула ему сухой прутик, который он схватил с едва заметной улыбкой на лице, заменявшей ему благодарность.

– Три твои камешка воплощают собой натуральные числа. Они известны всем и каждому и используются для подсчета привычных нам предметов. 1, 2, 3 и так далее. Их в математике называют множеством «N».

Курт начертал на песке «N», обвел букву большим кругом и положил в него три камешка.

– Что ты хочешь этим сказать? Неужели существуют и другие?

Его смех мне очень понравился – он был таким редким явлением.

– В числе прочих, у нас есть целые числа: множество «Z». Целые числа определяются по отношению к нулю. Если целое число меньше нуля, к нему добавляется символ «—». Таким образом, «–1» меньше нуля, в то время как «1» – больше. Помнишь мы ехали в поезде? Тогда все говорили о температуре в «–50». Для полной ясности им нужно было сказать «–50» по отношению к той точке, которую шкала Цельсия определяет как нулевую температуру.

Он начертал вокруг первого второй круг, а вокруг них – еще один. Затем обозначил каждый из них элегантной заглавной буквой: «Z», а потом «Q».

– «Q» – это множество рациональных чисел, дробей типа «1/3» или «4/5».

– N, Z, Q… Бедная моя голова!

– Опираясь на элементарный здравый смысл, ты можешь прийти к выводу, что множество натуральных чисел «N» меньше множества целых чисел «Z». Множество чисел «1, 2, 3» меньше чем множество «1, 2, 3, – 1, –2, – 3». Аналогичным образом, множество целых чисел «Z» меньше множества рациональных чисел «Q». Множество «1, 2, 3, –1, – 2, – 3» меньше множества «1, 2, 3, – 1, – 2, – 3, 1/2, 1/3, 2/3, – 1/2, – 1/3 и так далее.». Все эти множества включены друг в друга. Натуральные числа представляют собой наименьшее множество, или, если тебе так больше нравится, кучку, а рациональные – наибольшую.

– Как кастрюли! Стало быть, для каждого из них существует своя бесконечность?

– Ошибка! Количественность у них совершенно одинакова. Георг Кантор доказал это с помощью биективной функции в одном случае и посредством диагонального метода в другом. Но я тебя от этих выкладок избавлю.

– Твоя «количественность» для меня – китайская грамота.

На камень неподалеку от нас села любопытная чайка и стала взирать на меня с возмущенным видом птицы, к которой осмелился подойти человек.

– Ты меня не слушаешь, Адель!

– Слушаю, конечно! И что же получается в конечном счете? Все бесконечности равны друг другу? И сводятся к одной-единственной?

– Нет. По той причине, что существуют и другие. К примеру, множество действительных чисел «R». «Действительные» числа включают в себя «рациональные», то есть дроби, и «иррациональные», такие как число «П». Иррациональными их называют по той простой причине, что представить их в виде дроби не представляется возможным. Количество действительных чисел «R», иными словами бесконечное множество рациональных чисел, дополненное бесконечным множеством иррациональных чисел, заведомо больше. Это Кантор тоже доказал.

Вокруг трех предыдущих кругов он пунктиром изобразил еще один, поистине огромный. Чайка, прежде чем улететь, окинула его одобрительным взором.

– Бесконечность целых чисел «1, 2, 3», или «алеф-нуль», хотя подобная терминология и неверна, называется «счетной бесконечностью».

– Счетная бесконечность? Слишком самонадеянно, тебе не кажется?

– Самонадеянно, Адель, шутить в то время, когда я пытаюсь объяснить тебе сложный вопрос.

Я ударила себя в грудь, всем своим видом изображая покаяние.

– Если ты внимательно слушала с самого начала, тебе нетрудно будет понять, что число подмножеств этого «алеф-нуля» больше, чем сам «алеф-нуль». Число вариантов кучек, которые можно сложить из камешков, всегда больше количества самих камушков. Если верить Кантору, то множество таких частей биективно отражается на множество «R» действительных чисел[60]. Каждый элемент одного множества, с твоего позволения, находит себе соответствующую пару, подобно танцам на балу. Но этим этапом мои метафизические возможности исчерпываются.

Песок бухточки стал покрываться эзотерическими символами. Я огляделась по сторонам: какой-нибудь бдительный зевака вполне мог принять нас за шпионов.

– Если вкратце, Адель, то можно сделать вывод о том, что промежуточных бесконечностей между бесконечностью натуральных чисел и бесконечностью действительных чисел не существует… Точнее, не должно существовать. Если бы граница существовала, то она располагалась бы в промежутке между «N» и «R»: самой маленькой кучкой камней и той, которая содержит их все, но которую нельзя ими представить по той простой причине, что она не является счетной. О промежуточных множествах «Z» и «Q», как я тебе уже говорил, все забывают, путая их бесконечность с бесконечностью множества «N». Таким образом, мы одним прыжком совершаем переход от «дискретного» к «непрерывному». Это явление получило название континуум-гипотезы.

– Гипотезы? А твой Кантор ее что, не доказал?

– Ни он, ни кто-либо другой. Эта гипотеза представляет собой первейший из тех вопросов, которые Дэвид Гилберт сформулировал с целью консолидировать усилия математиков всего мира.

– Знаменитая программа, второй пункт которой был реализован тобой посредством теоремы неполноты? Тогда почему ты, человек столь педантичный и аккуратный, не начал с первого?

Впоследствии я узнала, что этот Кантор сошел с ума и умер. И тоже всю жизнь страдал от постоянных депрессий. Почему Курт встал на тот же самый призрачный, непонятный путь?

– Работы Кантора базируются на одной спорной аксиоме, известной как «аксиома выбора».

– Но ведь ты когда-то говорил мне, что аксиома – это непреложная истина!

Курт приподнял бровь:

– Твоя память, Адель, меня буквально поражает. В какой-то степени ты права, но эта истина в коробке с математическими инструментами стоит особняком. Сейчас у меня больше нет сил объяснять тебе все ее тонкости. Единственное, что тебе надо знать, это что использование некоторых подобных аксиом приводит нас к неразрешимым логическим парадоксам. Что вызывает сомнения в их легитимности.