Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность - Бен Орлин

Всякий раз, когда вы преподаете двум родственникам — брату и сестре, кузенам, тете и племяннику одного возраста, вы снова и снова поражаетесь сумбурной природе биологического наследования. Я учил братьев и сестер, похожих друг на друга, словно близнецы, и близнецов, которые были совершенно не похожи друг на друга. Школьные родительские вечера всегда вносят сумятицу в мой разум. От встречи к встрече мое сознание в режиме реального времени смешивает лица матери и отца, сидящих передо мной, и я обнаруживаю, что их ребенок — безупречная работа в «Фотошопе»: его уши и ее глаза, его волосы и ее форма головы. Любые две семьи друг от друга отличаются, но в чем-то все семьи похожи.

Загадки сходства поражают биологов до глубины души[101]. Однако я не биолог, и это могут подтвердить мои ученики. У меня нет секвенатора, нет специальных знаний об интронах и гистонах и (что еще важнее) нет даже никаких догадок на этот счет. Нет, я математик. Все, что у меня есть, — монета, теорема и — в духе «Отважного маленького тостера» — вера в силу выводов из основополагающих принципов.

И, возможно, этого достаточно.

Эта глава затрагивает два, на первый взгляд, не связанных между собой вопроса теории вероятностей. Во-первых, вопрос наследования генов, которому можно посвятить несколько школьных учебников. Во-вторых, вопрос об игре в орлянку, который кажется настолько тривиальным, что едва ли стоит наклоняться, чтобы поднять его с пола.

Можем ли мы соединить эти две области? Может ли однозвучный звон монет выразить всю сложность человеческой расы?

Я намерен ответить «да». И я вполне уверен, что унаследовал эту убежденность от отца.

Окей, начнем с простейшего из двух вопросов: что происходит, когда вы подбрасываете монету?

Ответ: есть два равновероятных исхода, орел или решка. Задача решена!

Хм, вы чувствуете это? Есть особое удовольствие в том, чтобы отвернуться от срочной, трудноразрешимой проблемы реального мира и сосредоточиться на головоломке, до которой никому нет дела. Посмакуйте это чувство. Вот почему некоторые люди становятся математиками.

Ладно, ничего особенного не происходит, если мы подбрасываем одну-единственную монету. Но что произойдет, если мы подбросим пару монет? Вы обнаружите, что равновероятны четыре исхода:

Педант сочтет, что два средних результата отличаются друг от друга: орел и решка не то же самое, что решка и орел. (Представьте, что мы подбрасываем цент и пятицентовик.) Но если вы похожи на большинство игроков в орлянку, то не увидите разницы. Ваш разум сведет оба исхода к одному (один орел, одна решка), и вероятность такого исхода — 50 %.

Продолжим: что произойдет, если мы подбросим три монеты?

В общей сложности восемь исходов. Если вы надеетесь, что орел выпадет трижды, есть всего один вариант: каждая монета должна выполнить свой долг, поэтому вероятность этого исхода равна 1 к 8. Но если вы надеетесь на то, что орел выпадет два раза, а решка — один, то есть три варианта — решкой может упасть либо первая, либо вторая, либо третья монета, поэтому вероятность такого исхода равна 3 к 8.

А что произойдет, если мы подбросим четыре монеты, или пять, или семь, или девяносто?

В данном случае мы исследуем семейство вероятностных моделей, известных под названием биномиальное распределение. Ваше единичное событие с двумя равновероятными исходами (орел или решка, победа или поражение, ноль или единица) происходит несколько раз. Это и есть биномиальность. И тогда, изучая эту ветвь математического генеалогического древа, мы наблюдаем две четких тенденции.

Первая: чем больше монет, тем сильнее расцветает сложность. Добавим одну монету, и количество потенциальных исходов увеличится вдвое, от 2 до 4, до 8, до 16. Подбрасывая десять монет, мы рассчитываем на чуть более чем тысячу различных исходов.

Подбросьте 50 монет, и количество исходов возрастет до 250, то есть больше квадриллиона. Эта тенденция агрессивного роста известна под названием комбинаторный взрыв. Линейный рост количества объектов ведет к экспоненциальному росту количества их комбинаций. Горсть монет, при всей своей кажущейся простоте, порождает непостижимое разнообразие.

Вторая тенденция обратная: даже если число вариантов быстро возрастает, доля необычных исходов сильно сокращается. Удостоверьтесь в этом на примере с четырьмя монетами, приведенном выше: есть всего два необычных варианта (все орлы и все решки) против 14 обыкновенных. Чем больше монет мы подбрасываем, тем меньше число необычных вариантов и тем глубже мы увязаем в трясине с практически равным соотношением орлов и решек.

Причина проста. Обычные исходы обычны именно потому, что есть много вариантов получить их. В то же время необычные результаты необычны именно потому, что их редко можно получить[102].