Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Вероятности используются и в медицине, и, если не понимать принципов применения шортката, в этой области также можно оказаться в результате чрезвычайно далеко от намеченной цели. Например, если пациентам говорят, что обследование на рак груди или простаты выявляет наличие рака с 90-процентной точностью, большинство впадает в панику, если результат обследования оказывается положительным. Но есть ли для этого основания? Важно учитывать дополнительные данные: что наличие рака вероятно лишь у одного из 100 пациентов. Проблему создают ложноположительные результаты. Если обследование обеспечивает 90-процентную точность, то из 99 человек, проходящих его, у 10, которые на самом деле вполне здоровы, положительные результаты будут ошибочными. Значит, если вы получили положительный результат, вероятность того, что вы действительно больны раком, составляет всего лишь одну одиннадцатую!

В этих числах важно разбираться, потому что СМИ обожают злоупотреблять ими для нагнетания страхов. Взять, к примеру, то сообщение, с которого я начал эту главу, – что бекон увеличивает вероятность возникновения рака прямой кишки на 20 процентов. Это пугает. Не пора ли мне отказаться от моих любимых бутербродов с беконом? Но, если посмотреть на долю людей, болеющих раком прямой кишки, она составляет 5 из 100. Употребление бекона увеличивает эту цифру до 6 из 100. В такой формулировке эта вероятность кажется не столь страшной.

А как быть с задачей Пипса о шестерках, с которой начинается эта глава? Какова вероятность того, что в шести бросках выпадет хотя бы одна шестерка? Здесь нужно снова использовать тот же шорткат – рассмотреть обратный вариант. Вероятность того, что шестерка не выпадет шесть раз подряд, равна (5/6)6 ≈ 33,49 %. Значит, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки, довольно велика – около 66,51 %.

А как насчет выпадения по меньшей мере двух шестерок на двенадцати костях? Здесь тоже существует слишком много возможных вариантов развития событий, чтобы все их можно было рассмотреть, так что мы применим тот же прием и пойдем от обратного. Рассмотрим вероятность случаев, в которых а) не выпадает ни одной шестерки и б) выпадает ровно одна шестерка. Для случая а) действует та же формула, что и раньше: (5/6)12 ≈ 11,216 %. Теперь займемся одной шестеркой. Тут есть двенадцать возможных сценариев, смотря по тому, в каком из бросков она выпадает. Вероятность, что шестерка выпадет в первом броске и не выпадет во всех остальных, равна (1/6) × (5/6)11. Собственно говоря, то же справедливо и для всех остальных сценариев, так что суммарная вероятность составляет 12 × (1/6) × (5/6)11 ≈ 26,918 %. Следовательно, вероятность выпадения двух или более шестерок в двенадцати бросках приблизительно равна

Таким образом, лучше ставить на вариант 1. Если произвести аналогичный анализ третьего варианта, несколько более сложного, чем второй, вероятность получится еще более низкой – около 59,73 %.

Пипс писал об этой задаче Исааку Ньютону в трех письмах, отправленных в конце 1693 года[115]. Пипсу интуитивно казалось, что третий вариант должен быть самым вероятным, но Ньютон, применив к задаче шорткат Ферма и Паскаля, ответил, что математика рекомендует другое решение. Поскольку Пипс собирался поставить 10 фунтов, что соответствует 1000 фунтов в нынешних деньгах, ему повезло: совет Ньютона спас его от шортката к обнищанию.

На каждом шаге жизненного пути мы попадаем на развилки, от которых отходят в будущее несколько разных дорог. В каждом выборе есть неуверенность относительно того, какая из этих дорог приведет к нужной цели. Если мы принимаем решения, полагаясь на интуицию, это часто приводит не к самым лучшим результатам. Выражение неопределенности в числах оказалось мощным средством анализа таких дорог и обнаружения шорткатов к цели. Математическая теория вероятностей не устраняет риски, но дает нам возможность более эффективно разбираться с ними. Эта стратегия позволяет нам анализировать все возможные сценарии будущего развития событий и определять, какая их часть ведет к успеху или неудаче. Это дает гораздо более ясную картину будущего, опираясь на которую можно выбрать, какой дорогой идти дальше.

Все хотят найти шорткат к огромному состоянию. Купить лотерейный билет. Поставить на лошадь. Основать следующий Facebook. Написать нового «Гарри Поттера». Вложиться в очередной Microsoft. Хотя математика не может гарантировать богатства, она все же дает некоторые из лучших возможностей максимального увеличения шансов на его получение.

Можно было бы подумать, что Исаак Ньютон со всеми его математическими методами оптимизации решений должен был быть успешным инвестором. Однако, потеряв огромные деньги из-за рыночного краха, он заявил: «Я могу исчислить движение звезд, но не безумие человека».

Тем не менее со времен Ньютона математика выяснила, что полезные шорткаты к извлечению денег из рынков все же существуют. Поэтому фонды, дела которых устойчиво идут хорошо как в благоприятные, так и в неблагоприятные периоды, неизменно бывают набиты сотрудниками с учеными степенями по математике. Если вы хотите найти идеальный фонд для своих сбережений, для этого есть очень полезный шорткат: нужно подсчитать количество сотрудников фонда, защитивших диссертации по математике. Но при чем тут знание математики? Разве поведение рынков не определяется человеческими прихотями и капризами? Не будет ли полезнее иметь ученую степень по психологии?

В начале XX века французский математик Луи Башелье выдвинул утверждение, что инвестиции в фондовый рынок на самом деле ничем не отличаются от ставок на подбрасываемую монету. Он первым построил модель изменения цен с течением времени. Башелье, досконально знавший рынки, считал, что курсы акций растут и снижаются случайным образом. Такое поведение называют «пьяной походкой», потому что на графике оно выглядит похоже на траекторию движения пьяницы, ковыляющего по улице. Разумеется, на общее поведение курсов может повлиять, скажем, вспышка пандемии. Но даже если учесть это, курс акций впоследствии может случайным образом пойти вверх или вниз. Такое знание не дает реального преимущества. Но оно оказывается полезным, когда понимаешь, что на самом деле эта модель неверна. В 1960-х годах математики осознали, что случайность, аналогичная случайности падения монеты, не вполне точно подходит к этой ситуации, потому что в противном случае можно было бы предположить, что курс акций на фондовом рынке может дойти до отрицательных значений. Поэтому появилась новая модель, по-прежнему случайная, но учитывающая, что у курса акций есть нижний предел, хотя рост его потенциально может быть ничем не ограничен.