Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Вот вам небольшая задача. Перейдем к рулетке. У вас есть 20 долларов. Ваша цель – по возможности удвоить эту сумму. Если вы поставите на красное и оно выиграет, вы получите в два раза больше, чем поставили. Какая стратегия имеет больше шансов на выигрыш? Стратегия А: поставить сразу все деньги на красное. Стратегия Б: каждый раз ставить на красное по одному доллару.

На первый взгляд может показаться, что никакой разницы нет, но у рулеточного колеса есть одна особенность. На нем расположены 36 чисел, половина из которых красные, а половина – черные, но, кроме того, есть еще 37-е число – зеро (0); его ячейка зеленая[107]. Если шарик попадает на него, вы теряете деньги, на что бы вы их ни поставили, красное или черное. В этом случае заведение обыгрывает всех[108]. Казалось бы, ничего страшного, но казино вычислили, что зеро открывает им шорткат к прибыли. Во всяком случае, в долгосрочной перспективе!

Поэтому шансы выигрыша и проигрыша при ставке на красное не равны. Вероятность выигрыша чуть меньше: она составляет 18/37. Предположим, вы ставите по 1 доллару на красное при 37 запусках колеса, и по странному стечению обстоятельств каждое из чисел, имеющихся на колесе, выигрывает по одному разу. Тогда в 18 случаях вы выигрываете по 1 доллару, но в 19 проигрываете по 1 доллару, и в результате у вас остается всего 36 долларов. Значит, с каждой 1-долларовой ставки вы, по сути, платите заведению по 1/37 ≈ 0,027 доллара. Преимущество заведения составляет 2,7 процента[109]. Чем больше играешь, тем больше теряешь.

При использовании стратегии А, когда вы ставите разом все 20 долларов, вероятность удвоения ваших денег равна 18/37, то есть около 48 процентов, даже меньше равных шансов. Но, если вы играете по стратегии Б, вы платите по доллару за каждую ставку, а следовательно, эта стратегия постепенно уводит вас все дальше и дальше от цели – удвоения исходного капитала. Собственно говоря, в долгосрочной перспективе вероятность того, что эта стратегия позволит вам удвоить капитал, составляет всего 25 процентов.

Хотя стратегия А дает больше надежды, игра по ней означает, что вы проведете в казино лишь довольно короткое время. Вечер игры по стратегии Б может быть более интересным, но за это удовольствие вам придется заплатить.

Возможно, вы слышали, что игроку, желающему получить преимущество перед казино, место за столом для блэкджека. В 1960-х годах математик Эдвард Торп сообразил, что, наблюдая за картами, которые приходят дилеру и другим игрокам, в этой игре можно получить преимущество[110]. Эта методика называется подсчетом карт. В блэкджеке нужно добиться, чтобы ваши карты давали сумму, равную или меньшую 21, но большую, чем у дилера. Если вы перебираете – набираете больше 21, – вы проигрываете. Ключевой фактор, обеспечивающий эффективность подсчета карт, – это правило, согласно которому дилер всегда обязан брать очередную карту, если у него на руках 16 или меньше очков.

В колоде есть 16 карт, сто́ящих по 10 очков (десятки, валеты, дамы и короли). Если вы знаете, что в колоде еще остается много таких карт, значит, велика вероятность того, что дилер, взяв следующую карту, переберет; поэтому вам имеет смысл делать более крупные ставки. Подсчет карт – простой метод, позволяющий отслеживать, сколько старших карт уже было отыграно, а сколько еще остаются в колоде. Как правило, в казино используют на каждом столе не по одной, а по шесть-восемь колод, чтобы минимизировать действенность подсчета, но даже тогда он дает игроку преимущество. Фильм «Двадцать одно» (2008) был снят по мотивам подлинной истории группы математиков из MIT, использовавших шорткат Торпа в Лас-Вегасе. Занудные математики вышли в нем такими сексапильными и обаятельными, что этот фильм, вероятно, сделал для популярности математики среди абитуриентов университетов больше, чем совокупные усилия всех математических факультетов по всей стране.

На первый взгляд кажется, что это прекрасный шорткат к богатству. Проблема только в том, что, когда я проанализировал, сколько времени на самом деле нужно, чтобы заработать при помощи этой стратегии по-настоящему много денег, оказалось, что отношение выигрыша к затраченному времени получается меньше минимальной зарплаты. Похоже, к успеху игроков из MIT приложила руку госпожа Удача.

Сколько вы согласились бы заплатить за участие в следующей игре? Я бросаю игральную кость и плачу вам столько долларов, сколько на ней выпадет очков. В одном случае из шести выпадает «шестерка», и вы получаете 6 долларов. Любое другое число тоже выпадает один раз из шести. За шесть бросков вы можете заработать 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 доллар. Значит, средний выигрыш за один бросок равен 21/6 = 3,50. Если вам предложат сыграть за меньшую плату, имеет смысл соглашаться, потому что в долгосрочной перспективе вы должны остаться в выигрыше. Каждый раз, когда играешь на деньги, разумно оценить, каким должен быть средний выигрыш, чтобы понять, стоит ли играть в эту игру.

Хотя к открытию того факта, что к азартным играм можно применять математические методы, привела переписка между Ферма и Паскалем, математическая теория вероятностей по-настоящему кристаллизовалась лишь с появлением работы швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений» (Ars Conjectandi)[111]. Якоб принадлежал к тому самому клану Бернулли, который выступал на стороне Лейбница в споре об авторстве математического анализа. Именно в этой работе можно найти формулу целесообразной платы за участие в любой игре.

Предположим, существует N возможных исходов. В случае исхода 1 вы выигрываете W(1) долларов. Это происходит с вероятностью P(1). Аналогичным образом исход 2, вероятность которого P(2), приносит вам W(2) долларов. Каждый раз, когда вы играете в эту игру, вы выигрываете в среднем W(1) × P(1) + … + W(N) × P(N) долларов. Таким образом, если вам предлагают сыграть за меньшую сумму, в долгосрочной перспективе вы останетесь в выигрыше. Например, в моей игре с игральной костью есть шесть исходов, все вероятности P(1), … P(6) равны 1/6, а выигрыши W(1), … W(6) составляют от 1 до 6 долларов.