Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

– Я просто сыграю в орлянку.

Такая стратегия ставит нам палки в колеса, потому что Предсказатель психолог, а не маг, он не в силах предсказать, как выпадет монетка. Поэтому введем дополнительное правило: решение должно быть личным выбором Игрока. Вам запрещено с кем-либо консультироваться, вам запрещено играть в орлянку и предпринимать еще что-либо, влияющее на ваш личный выбор.

Итак, каким должен быть ваш выбор, чтобы вы заработали больше денег?

Хорошая новость состоит в том, что правильный ответ существует. Но есть и плохая новость: правильный ответ – не единственный. Посмотрим, почему это так.

Не оставляйте деньги на столе!

Вне всякого сомнения, забрать два ящика в любом случае на тысячу долларов лучше, чем просто взять ящик № 2. Предсказатель ходит первым. Поскольку он редко ошибается, вы не знаете, как он поступит. Если вы возьмете ящик № 2, вам достанется только то, что в нем лежит. Но если вы возьмете оба ящика, вам достанется и то, что находится в ящике № 2, и еще 1000 долларов. Вне всякого сомнения, так вы получите больше денег[232].

Вот наглядное представление о ваших возможностях в зависимости от того, пуст или полон ящик № 2:

Теперь все кристально ясно. Что бы там себе ни думал Предсказатель, в любом случае выгоднее брать оба ящика.

Жадность не доводит до добра

Вы ждете своей очереди. Несколько ваших друзей уже сделали выбор. Кое-кто из них руководствовался изложенной только что логикой и забрал оба ящика. Другие решили даже под давлением железобетонной логики взять только ящик № 2. И что они получили в итоге?

Рациональные игроки забрали свою тысячу, а вот азартные теперь миллионеры! В одном случае Предсказатель просчитался, но в целом он всегда оказывался прав.

А теперь ваш ход.

Если вы согласны с логикой предыдущих абзацев, вы возьмете оба ящика. Действительно, какой смысл оставлять на столе тысячу долларов? Предсказатель наверняка угадает ваш выбор (потому что знает, что вы за человек) и оставит ящик № 2 пустым. Это плохо: да, вы получите утешительный приз (1000 долларов), но так и не станете миллионером.

С другой стороны, ход ваших мыслей может быть следующим: «Предсказатель знает свое дело. Если я решу взять только ящик № 2, есть все шансы, что он заранее поймет это». И в самом деле: в таком случае вы с огромной вероятностью разбогатеете!

Иными словами, игрок, забирающий только ящик № 2, получает больше денег, чем «рациональный» игрок, забирающий оба ящика. Ошеломляющий вывод: выбрать ящик № 2 означает скорее всего получить больший выигрыш, в то время как выбрать оба ящика означает скорее всего ограничиться утешительным призом.

Выбрать ящик № 2 – наилучший путь к богатству!

Эти аргументы можно перевести на язык математики. Довольно просто вычислить, с какой вероятностью приносит деньги та или иная стратегия. Скоро мы вернемся к противостоянию Предсказателя и Игрока, но сначала для наглядности разберем очевидный пример: лотерею «Выбери три цифры».

Игроки покупают билеты стоимостью 1 доллар. Каждый билет дает возможность выбрать три цифры. Тем же вечером выигрышное трехзначное число генерируется случайным образом. Каждый билет с этим числом приносит 500 долларов.

Вопрос: какой ожидаемый выигрыш в лотерее «Выбери три цифры»?

Грубо говоря, никакой. Вероятность того, что мы в точности угадаем заветное число, равна одной тысячной, или 0,01 %. Почти всегда (но все-таки «почти») билет проигрывает.

Но когда об ожидаемом выигрыше говорят на математическом языке, подразумевается средний выигрыш. Как его вычислить?

С вероятностью 0,999 выигрыш по одному билету равен 0 долларов и с вероятностью 0,001 равен 500 долларам. В целом это дает:

То есть средний выигрыш равен всего 50 центам.

Вот другой способ прийти к этому числу. Представим, что лотерейщики продали миллион билетов. Каждый билет стоит 1 доллар. Таким образом, выручка составляет миллион долларов. Сколько им придется заплатить?

Заветное число – трехзначное, поэтому резонно предположить, что выиграет где-то один билет на тысячу. Всего будет около 1000 выигрышных билетов, каждый сделает лотерейщиков беднее на 500 долларов. Таким образом, они потеряют в среднем 50 центов с каждого билета.

Применим этот метод анализа к игре Ньюкома. Игрок может взять оба ящика или только ящик № 2. Каков средний выигрыш в каждой ситуации?

• Если вы берете ящик № 2, в 95 % случаев Предсказатель угадывает это и кладет туда 1 000 000 долларов. В 5 % случаев он ошибается, и ящик остается пустым. Таким образом, средний выигрыш равен 1 000 000 × 0,95 + 0 × 0,05 = 950 000 долларов.

• Если вы берете оба ящика, в 95 % случаев ящик № 2 оказывается пуст, а в 5 % случаев там лежит 1 000 000 долларов. В любом случае Игрок получает 1000 долларов из первого ящика. Таким образом, средний выигрыш составляет 1000 × 0,95 + 1 001 000 × 0,5 = 51 000 долларов.

Теперь все ясно. Лучший способ заработать деньги – выбрать только ящик № 2.

Противоречие и вывод

Мы пришли к двум неоспоримым выводам. Первый: лучше взять оба ящика (зачем оставлять деньги на столе?). Второй: лучше взять ящик № 2 (есть все шансы стать миллионером). Как такое возможно? Верно должно быть либо то, либо другое.

Мы столкнулись с противоречием. С нами уже такое случалось. В главе 1 мы вообразили число N, которое, как выяснилось, (a) делится на некое простое число и (b) не делится ни на какое простое число. Разумеется, это невозможно. Если мы пришли к противоречию, значит, мы исходили из ложной посылки. Так оно и было: мы предположили, что количество простых чисел конечно, и пришли к двум прямо противоположным выводам. Если вывод абсурден, то изначальное предположение было ошибочным. Неверно, что простые числа можно пересчитать: это приводит к бессмыслице. Таким образом, простых чисел бесконечно много.

Что касается парадокса Ньюкома, мы сделали два неявных допущения.

Первое допущение – относительно Игрока. Может ли он сделать независимый выбор? Обладают ли человеческие существа свободной волей? Разумеется, нельзя (и мы даже не будем пытаться) в точности разрешить эту старую как мир философскую проблему[233].