Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

Он заключается в том, что первый приоритет избирателя приносит кандидату 2 очка, второй приоритет – 1 очко, третий приоритет – ни одного очка. Дальше мы складываем очки. Побеждает тот кандидат, у кого их окажется больше.

Давайте проанализируем, как работает метод Борда в случае рассмотренного выше профиля предпочтений:

– кандидат A имеет первый приоритет у шести избирателей и второй – у одного, таким образом, он набирает 6 × 2 + 1 × 1 = 13 очков;

– кандидат B имеет первый приоритет у пяти избирателей и второй – у четырех, таким образом, он набирает 5 × 2 + 4 × 1 = 14 очков;

– кандидат C имеет первый приоритет у двух избирателей и второй – у восьми, таким образом, он набирает 2 × 2 + 8 × 1 = 12 очков.

В соответствии с методом Борда победителем станет кандидат B.

Нарисуем сводную таблицу победителей для одного и того же профиля предпочтений при использовании трех разных методов:

Результат обескураживает. Сложно обвинить какой-либо из трех методов в нелепости (в отличие от правила нечетности или правила меньшинства). Все три подхода удовлетворяют критериям честности: им свойственны нейтральность учета избирателей, нейтральность учета кандидатов и монотонность, потому нельзя отбраковать хотя бы один из них на этом основании. Может быть, мы найдем еще какой-нибудь критерий честности, чтобы выбрать «наилучший» метод?

Независимость от посторонних альтернатив

Последний критерий справедливости, который я рассмотрю в этой главе, называется независимость от посторонних альтернатив. Он носит более изощренный характер, чем другие критерии, поэтому я начну с простого примера.

Вообразите, что ваша подружка выбирает десерт после ужина в ресторане. В меню указаны три варианта: торт, пирог и мороженое. Девушка заказывает мороженое. Официант, приняв ее заказ, говорит вам: «О, похоже, у нас закончились пироги». Тут девушка отвечает: «В таком случае я закажу торт!»

Что за чушь? Если она предпочитает мороженое (а не торт и не пирог), нет никакой разницы, остались ли в ресторане пироги. Но перемена выбора вашей подружки связана именно с фактом отсутствия пирогов, это не совпадение. Есть искушение заподозрить, все ли у нее в порядке с головой!

Мы ожидаем, что методы принятия решений будут разумными. Допустим, некий метод провозглашает кандидата X победителем на основании определенного профиля предпочтений. Допустим также, что другой кандидат, Y, снимает свою кандидатуру (и ни один избиратель не меняет своего мнения). В таком случае X должен остаться победителем. Если метод удовлетворяет такому условию, это и есть независимость от посторонних альтернатив.

Подумаем в том же ключе о правиле большинства. Для рассмотренного выше профиля предпочтений этот метод провозглашает победителем A. Теперь представим, что C снимает кандидатуру. Профиль предпочтений меняется следующим образом:

На сей раз победителем становится кандидат B! Таким образом, правило большинства не удовлетворяет критерию независимости от посторонних альтернатив.

Может быть, правило первых двух приоритетов лучше? На основе того же профиля предпочтений победителем становится C. Что произойдет, если A сойдет с дистанции? Останется всего два кандидата! Тут мы заходим в тупик. Вот вам головоломка: попробуйте составить такой профиль предпочтений при голосовании за четырех кандидатов (A, B, C, D), чтобы правило первых двух приоритетов провозглашало победителем A, но если бы из гонки выбыл D, победителем стал бы B. Ответ я дам в конце главы.

Наконец, протестируем метод Борда. Он провозглашает победителем B, но если C выбывает, победителем становится A.

Ни один из трех методов не удовлетворяет критерию независимости от посторонних альтернатив.

Спокойствие, только спокойствие! Есть множество других методов. Разумеется, какие-нибудь из них удовлетворяют критерию независимости от посторонних альтернатив. Например, правило диктатора (если кандидат A имеет первый приоритет у избирателя № 1, он останется победителем, кто бы из других кандидатов ни выбыл из игры). Разумеется, правило диктатора – не лучший метод, потому что не удовлетворяет одному из основных критериев – нейтральности учета избирателей.

Возникает вопрос: какой из справедливых методов голосования удовлетворяет критерию независимости от посторонних альтернатив? Ответ был найден Кеннетом Эрроу[226] в 1950 году: увы, но такого метода нет.