Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Но где они? Хотя концепция трансцендентных чисел существует уже давно, вплоть до XIX в. никто не мог с уверенностью сказать, что «видел» такое число.

Доказательство существования таких чисел дал не Георг Кантор. Оно было получено в 1844 г. выдающимся французским математиком Жозефом Лиувиллем. Однако Кантор развил результаты Лиувилля, показав, что трансцендентные числа составляют большинство всех чисел. Другими словами, числа в большинстве своем не только не рациональны; по большей части числа даже не относятся к алгебраическим.

Доказательство. Множество всех вещественных чисел можно разбить на два непересекающихся множества – множество алгебраических чисел и множество трансцендентных чисел. Слово «непересекающиеся» означает, что ни один элемент не может принадлежать обоим множествам.

Обозначим множество алгебраических чисел буквой А, трансцендентных – буквой Т, а вещественных – буквой R.

Объединение множеств А и Т есть множество всех вещественных чисел R. Следовательно, можно написать R = A∪T.

А теперь приготовьтесь к поворотному моменту этой истории. Поскольку мощность R, множества всех вещественных чисел, равна А, можно предположить, что множество Т должно быть несчетным (или меньше).

Утверждение о том, что множество трансцендентных чисел Т должно быть несчетным, вытекает из того факта, что объединение двух счетных множеств всегда дает еще одно счетное множество.

Если бы оба множества А и Т были счетными – то есть счетными были бы и множество алгебраических чисел, и множество трансцендентных чисел, – то их элементы можно было бы упорядочить: A = (a1, a2, a3…) и T = (t1, t2, t3…). Следовательно, их объединение T∪A тоже было бы счетным, так как его элементы можно было бы упорядочить следующим образом:

Но, как мы знаем, множество R несчетно. Поскольку нам известно, что множество А счетно (см. раздел под названием «Каникулы алгебраических чисел в отеле Гильберта»), а T∪A = R, множество Т никак не может быть счетным.

Что же, если количество трансцендентных чисел так велико, что они образуют несчетное множество, казалось бы, найти пример трансцендентного числа должно быть совсем не трудно. Да что там, математики должны то и дело на них натыкаться.

Но так ли это? На самом деле нет. Даже к нынешнему моменту выявлено очень немного трансцендентных чисел.

Давайте попробуем. Может быть, трансцендентно число (√2 + ϕ)? Ничего подобного. Это число оказывается алгебраическим: можете попытаться составить алгебраическое (полиномиальное) уравнение (с целыми коэффициентами), решением которого оно является. Собственно говоря, готов поспорить, что вы не сможете найти ни одного неалгебраического числа.

Что же получается? Мы доказали, что количество трансцендентных чисел не просто бесконечно, но и несчетно. Проблема состоит в том, что это доказательство существования, а не конструктивное доказательство. Другими словами, хотя это доказательство может убедить нас в существовании бесконечно многих трансцендентных чисел (что вытекает из мощности континуума), оно не дает ни малейшей подсказки относительно того, как найти хотя бы одно такое число.

Как мы уже сказали, в 1844 г. Лиувилль открыл одно трансцендентное число. Вот оно:

Вам может быть не вполне ясно, что именно это за число; позвольте мне объяснить.

Число Лиувилля строится следующим образом:

Шаг 1. Вычисляем все факториалы: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120…

Шаг 2. Составляем число, в котором после запятой встречаются только нули и единицы, причем 1 стоит на 1-м, 2-м, 6-м, 24-м, 120-м – и так далее – местах, а на всех остальных местах стоит 0.

Лиувилль доказал, что это число не является корнем какого бы то ни было алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Как вы можете вообразить, это доказательство не слишком просто, так что вам придется поверить мне (и Лиувиллю) на слово – это действительно так.

Посмотрите на следующее число: 3,140001000000000000000005… сформированное сходным образом. Это число получено из десятичного представления числа π, в котором все цифры после запятой, кроме 1-й, 2-й, 6-й, 24-й, 120-й и так далее (их номера соответствуют 1! 2! 3!..), заменены нулями. На упомянутых же местах стоят последовательные цифры числа π.

Поскольку π =3,141592653589793… на 24-м месте оказывается цифра 5, на 120-м месте – цифра 9, на 720-м – цифра 2 и так далее.

Математики могут доказать, что это число также трансцендентно (а вам снова придется поверить, что они знают свое дело).

А как обстоит дело с самим π? Трансцендентно ли это число?

Тот факт, что число π иррационально (то есть не существует такой дроби a/b, которая давала бы значение π), отметил – но не доказал – еще персидский математик, астроном и географ IX в. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (в латинской транскрипции его имя передавалось как Algoritmi, и от него произошло слово «алгоритм»). Он был заметной фигурой знаменитого «Дома мудрости» в Багдаде в эпоху наивысшего расцвета исламской культуры. Ему принадлежит множество чрезвычайно важных достижений в области алгебры; более того, само слово «алгебра» происходит от сочетания «аль-джебр», взятого из названия фундаментального труда по этой науке, который аль-Хорезми написал около 820 г.[52].

Маймонид также верил в иррациональность π, но не доказал его. Строгое доказательство получил только в 1768 г. швейцарский математик (Эйлер был не единственным швейцарским математиком!) Иоганн Генрих Ламберт.