Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Какая красивая формула! Простая, изящная и эффектная.

Этот рассказ был бы, однако, неполным, если бы я не упомянул, что сегодня честь открытия приведенной выше формулы приписывают индийскому математику XIV в. Мадхаве, который, по-видимому, знал ее задолго до Грегори. Некоторые исследователи утверждают, что Мадхава не только знал эту формулу, но и нашел способ вычисления отклонения ее результатов от истинного значения π и даже разработал еще одну формулу для вычисления π, дающую гораздо более прямое приближение к значению этого числа, чем формула Грегори. Вот она:

Честно говоря, тут я воспользовался случаем, чтобы показать вам некоторые особенно красивые формулы для вычисления значения π. Чтобы доказать, что π – вычислимое число, достаточно было бы показать всего лишь одну из них.

Число Эйлера е также не относится к алгебраическим числам, но, поскольку оно определено как предел некоторой последовательности, его значение также вычислимо, и, как и в случае числа π, есть несколько способов этого вычисления. Ниже я привожу несколько изящных и (сравнительно) простых примеров. Возможно, вы уже знакомы с первыми двумя.

А существуют ли числа вещественные, но невычислимые? Они не просто существуют – их очень много. Собственно говоря, поскольку, как мы отметили раньше, количество алгоритмов счетно, мощность множества вычислимых чисел должна быть равна ℵ0. А поскольку мощность множества вещественных чисел равна ℵ, это означает, что должно существовать ℵ вещественных чисел, которые не являются вычислимыми! Другими словами, невычислимы почти все вещественные числа. Для определения большинства вещественных чисел не существует алгоритмов. Можно ли говорить о невычислимых числах? Можете ли вы найти пример вещественного числа, которое было бы невычислимым?

Некоторые математики утверждают, что во всем наборе вещественных чисел нет необходимости, и для всех практических целей вполне можно обойтись одними только вычислимыми числами.

Тем, кто хочет узнать больше (гораздо больше!) о вычислимых числах и их интереснейшей связи с концепциями Алана Тьюринга, я настойчиво рекомендую прочитать книгу «Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики» (1989)[59], которую написал британский математик, философ и обладатель бесчисленных (можно ли сказать «бесконечных»?) наград и званий сэр Роджер Пенроуз.

Треугольник Пенроуза

Лестница Пенроуза – нескончаемое путешествие

Ну что же, мы познакомились с несколькими интересными концепциями, но теперь нам пора вернуться к теории Кантора и узнать, что бесконечность бесконечна.

Существует ли множество чисел, мощность которого больше мощности множества вещественных чисел? Есть ли вообще «наибольшее» значение мощности?

Тот факт, что множества, имеющего наибольшую мощность, не существует, доказал сам Кантор. Собственно говоря, в этом случае доказательство Кантора было конструктивным, потому что он показал, что для любого данного множества всегда можно найти множество еще большей мощности и как это сделать. Такие множества называются показательными множествами, или булеанами.

Прежде чем мы перейдем к самой теореме, познакомимся с одной новой концепцией.

Предположим, например, что A = {17, 42, 0}. Тогда булеан Р(А) будет построен следующим образом: P(A) = {{}, {17}, {42}, {0}, {17, 42}, {17, 0}, {42, 0}, {17, 42, 0}}.

Символ «{}» обозначает пустое множество, которое считается подмножеством любого множества А. Возможно, вы помните, что ранее в этой книге мы использовали для обозначения пустого множества символ ∅. Оба эти символа – {} и ∅ – обозначают одно и то же. Отметим, что множество А также считается подмножеством самого себя. Если подсчитать количество подмножеств, окажется, что в самом множестве А содержится три элемента, а в булеане А – восемь элементов.