Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Как уже было сказано выше, мощность конечного множества попросту равна числу содержащихся в нем элементов. Следовательно, можно написать #A = n.

Но как определить мощность бесконечных множеств? Не можем же мы подсчитать элементы, содержащиеся в бесконечных множествах!

Есть ли вообще мощность у бесконечных множеств?

А если есть, то существуют ли некие мощности бесконечных множеств, большие, чем другие (посещение бесконечной гостиницы дает более чем достаточно оснований предположить, что такое может быть возможно)?

Существует ли «наименьшая» плотность бесконечного множества?

Существует ли «наибольшая» плотность бесконечного множества? «Бесконечна» ли плотность бесконечного множества? Если это так, как нам определить значение такой мощности?

Если вы хотите узнать ответы на эти и другие вопросы, оставайтесь с нами!

Любое конечное множество, очевидно, есть множество счетное. Если начать с первого элемента, перейти к следующему и так далее, то рано или поздно (даже если это множество содержит гуголплекс элементов) вы (или ваши потомки) дойдете до последнего элемента. Бесконечное множество называют «счетно-бесконечным», если оно имеет такую же мощность, как множество натуральных чисел, то есть для него существует одно-однозначное и сюръективное соответствие с множеством натуральных чисел. Другими словами, его элементы можно расположить последовательно, из чего следует, что его элементы можно каким-то образом разместить в отеле Гильберта. Они счетны в том смысле, что мы можем расположить их так, чтобы у нас был первый элемент, затем второй, за ним – третий… и, хотя этот процесс никогда не завершится, мы все же пересчитываем эти элементы! Поэтому такие множества и называются «счетными».

Мы уже видели, что множество целых чисел и множество рациональных чисел можно расселить в бесконечной гостинице Гильберта без каких-либо затруднений. Это означает, что эти два множества, несомненно, относятся к множествам счетным.

Напомню, как именно размещались в гостинице рациональные числа. Как вы помните, мы расположили их в порядке возрастания «высоты», причем «высота» дроби a/b была определена равной h = a + b, а числа с одинаковой высотой располагались в порядке возрастания значения числителя (см. приведенную ниже таблицу). Вполне ясно, что у этих дробей, расположенных в таком порядке, есть инъективное соответствие с натуральными числами.

Давид Гильберт

Эмми Нётер

А вот напоминание о том, как можно разместить в самой шикарной математической гостинице во Вселенной целые числа:

Выше мы обозначили мощность конечного множества символом #A. Однако, поскольку завершить подсчет элементов бесконечного множества невозможно, для его мощности не может существовать никакого значения «n». Следовательно, мощность счетно-бесконечного множества необходимо определить как-то иначе. Кантор обозначил ее символом ℵ0 (алеф-нуль). Он состоит из буквы «алеф», взятой из еврейского алфавита, с подстрочным индексом 0{29}. Если обозначить буквой N множество натуральных чисел, а буквой Z – множество целых чисел (как положительных, так и отрицательных, а также нуля), то для обоих этих множеств можно написать, что #N = ℵ0 и #Z = ℵ0.

Тот факт, что мощность счетно-бесконечного множества обозначается ℵ0, намекает, что ℵ0 – вероятно, наименьшая мощность бесконечного множества и что могут существовать и более высокие мощности бесконечных множеств (элементы которых мы все равно не можем пересчитать!). На самом деле так оно и есть.

Мини-головоломка

Докажите, что любое бесконечное множество содержит счетно-бесконечное множество.

Из этого упражнения, в частности, следует, что бесконечное множество может заполнить бесконечную гостиницу. Ключевое слово тут – «может».

Например, множество чисел, делящихся на 3, можно разместить в бесконечной гостинице так, что эти числа не займут все номера: нужно просто поселить каждое число в номере, соответствующем его значению.

Остается бесконечное количество свободных номеров.

Но если каждое число, делящееся на 3, поселить в номере, соответствующем одной трети его значения, гостиница окажется полностью заселенной.

Это показывает нам, что множество чисел, делящихся на 3, – множество счетно-бесконечное (потому что, как можно видеть из таблицы, существует биекция между ним и множеством натуральных чисел).

Множество чисел, кратных гуголплексу, также бесконечно и также счетно, как и множество чисел, кратных пухплексу. Попытайтесь представить себе, какое огромное количество чисел придется пройти, прежде чем мы доберемся до пухплекса! После этого нужно будет пройти еще столько же, чтобы достигнуть удвоенного пухплекса! Тем не менее мощность множества чисел, кратных пухплексу, равна мощности множества чисел, кратных 21, а также мощности множества четных чисел и множества натуральных чисел.

Мощность всех этих множеств – ℵ0.