Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь - Кит Йейтс

Во время первоначального судебного разбирательства доктор Патриция Стефанони, главный технический директор отдела судебно-генетической экспертизы полиции Рима, решила, что из-за крошечного размера образца ДНК, оставшегося на лезвии ножа, этот образец не надо разделять на две части – чтобы получить достаточно сильный сигнал профиль, ей был необходим весь имеющийся в распоряжении материал. Это прямо противоречило принятым нормам проведения экспертизы: второй образец нужен для того, чтобы перепроверить профиль, если тот получится слабым или сомнительным. Но ее решение оставило экспертизу без контрольного образца. Как было отмечено во время предварительного разбирательства, электрофореграмма имела четкие пики во всех нужных местах и невероятно близко соответствовала профилю Керчер. Однако, как видно из пронумерованных граф на рис. 12, большинство пиков в профиле значительно ниже даже самых либеральных стандартов. Пренебрежение нормативными процедурами при создании профиля, которое продемонстрировала Стефанони, позволило команде защиты на апелляции дискредитировать доказательства, построенные на основе следов ДНК с лезвия ножа.

В ответ обвинение попросило провести повторное тестирование небольшого количества клеток, пропущенных при первоначальном сборе мазка, но обнаруженных независимыми судебно-медицинскими экспертами, чтобы подтвердить результаты первого теста. Однако председательствующий судья Клаудио Хеллман отклонил это ходатайство.

3 октября 2011 года присяжные, среди которых были и эксперты, и простые судебные заседатели [102], удалились на совещание, чтобы вынести свой вердикт. Они совещались необычно долго, атмосфера в зале суда постепенно накалялась, и к выходу присяжных присутствующие уже едва сдерживали эмоции. Несмотря на подробный разбор доказательств, никто не знал, куда качнется маятник. Когда вердикт был зачитан, Нокс рухнула на стул и разрыдалась от радости и облегчения. Присяжные сняли с нее обвинение в убийстве. В мотивационной части вердикта, объясняя отказ от тестирования второго образца ДНК, судья Хеллман заявил, что «сумма двух результатов, оба из которых ненадежны вследствие нарушения научных принципов проведения экспертизы, не может дать достоверного результата». Но Лейла Шнепс и Корали Колмез, авторы вышедшей в 2013 году книги «Процесс над математикой: как в зале суда используют цифры и злоупотребляют ими»[103], предполагают, что судья Хеллман ошибался: иногда два ненадежных теста лучше, чем один [104].

Чтобы понять их аргументы, давайте снова представим себе, что вместо анализа ДНК мы бросаем игральный кубик, желая определить, стандартный он или шулерский, со смещенным центром тяжести. В первом случае шестерка должна выпадать один раз из шести, а на кости, у которой одна сторона тяжелее, в 50 % случаев, как нам заранее известно. Мы хотим подойти к ситуации непредвзято, поэтому еще до начала тестов допускаем, что каждый из этих сценариев одинаково вероятен.

Начнем наш тест, бросив кубик 60 раз подряд. Если кубик стандартный, то шестерка должна в среднем выпасть шесть раз. Если кубик со смещенным центром тяжести, то шестерка выпадет в среднем 30 раз. Выпадение 30 и более шестерок в ходе бросков дает нам веские основания полагать, что кубик утяжелен, поскольку такой результат в случае бросков стандартного кубика крайне маловероятен. Аналогичным образом, если шестерка выпадет 10 или меньше раз, мы будем уверены, что имеем дело со стандартной костью. Если шестерка выпадает в диапазоне от 10 до 30 раз, то мы сможем вычислить вероятность того, что этот кубик утяжелен, сравнив шанс получить такой результат с кубиком со смещенным центром тяжести с шансом получить аналогичный результат со стандартным кубиком.

Рис. 13. Результаты двух независимых серий бросков. В первом тесте шестерка выпала 21 раз из 60, а во втором – только 20 раз. Кажется, что второй тест подрывает результат первого

Во время теста мы фиксируем результаты бросков – итог показан в верхней половине рисунка 13: шестерка выпала всего 21 раз. Вероятность такого результата при бросках стандартного кубика невелика – всего 0,000297. С кубиком со смещенным центром тяжести вероятность получить 21 шестерку тоже довольно мала – 0,00693, но она все же в 20 с лишним раз выше, чем со стандартным кубиком. 21 шестерка скорее выпадет при бросках утяжеленного, чем стандартного кубика. Мы можем найти общую вероятность выпадения 21 шестерки в обоих сценариях, сложив соответствующие вероятности и получив 0,00722. Доля этой вероятности, которую обеспечивает утяжеленная игральная кость, составляет 0,00693/0,00722, что дает 0,96. Таким образом, вероятность, что мы бросали утяжеленный кубик, равна 96 %. Достаточно убедительно, но, возможно, этого не хватит для того, чтобы осудить убийцу.

Табл. 9. Вероятность выпадения разного количества шестерок в каждом из тестов со стандартными костями (столбец 1) и костями со смещенным центром тяжести (столбец 2). Общая вероятность для обоих сценариев (столбец 3) и вероятность того, что у кубика смещен центр тяжести (столбец 4)

Для верности проведем второй тест, бросив кубик еще 60 раз. На этот раз, как показано в нижней половине рисунка 13, выпало только 20 шестерок. Как видно из таблицы 9, вероятность получить такой результат со стандартным кубиком составляет 0,000780, а со смещенным центром тяжести – 0,00364, что примерно в пять раз выше. Хотя это и не сильно отличается от результатов первого теста, но тот же расчет дает чуть менее убедительные 82-процентные шансы на то, что кубик утяжелен. Похоже, второй тест поставил под сомнение результаты первого. Во всяком случае, второй тест никоим образом не позволяет нам без сомнений убедиться, что мы имеем дело с шулерским кубиком.

Однако при объединении результатов, как показано на рис. 14, мы сможем проанализировать уже 120 бросков кубика. Если кубик стандартный, то при 120 бросках шестерка в среднем должна выпадать 20 раз. Но она выпала 41 раз. Вероятность такого результата в серии из 120 бросков для стандартного кубика составляет всего 0,00000155; а вот вероятность получить такой результат с кубиком со смещенным центром тяжести в 100 с лишним раз выше. Она составляет 0,000168. Итого, с учетом количества выпавших шестерок вероятность, что мы имеем дело с шулерским кубиком, превышает 99 %.