Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь - Кит Йейтс

Каз Дэниелс – мать троих детей из Нортхемптона. В 2010 году в возрасте 50 лет она в первый раз прошла профилактическую маммографию. Через неделю после процедуры она получила письмо с просьбой пройти дополнительное обследование через два дня. Срочность вызова, разумеется, ошеломляла. Следующие два дня она не находила себе места от волнения, не могла ни спать, ни есть, содрогаясь от мрачных перспектив в случае положительного диагноза.

Рис. 5. Из 10 000 женщин старше 50 лет, прошедших тестирование, 36 будут верно определены как положительные, а 996 – как положительные, несмотря на отсутствие заболевания

Большинство проходящих маммографию считают это обследование достаточно точным способом обнаружить рак молочной железы. Действительно, в случае развившегося рака, обследование обнаружит недуг девять раз из десяти. Примерно с такой же точностью обследование верно обнаружит отсутствие рака [70]. Зная эту статистику и получив положительный результат маммографии, Каз посчитала, что она, вероятно, больна раком. Однако простой математический довод показывает, что на самом деле все наоборот.

Распространенность невыявленного рака груди у женщин старше 50 лет – тех, кого приглашают на плановое обследование, – несколько выше, чем у женщин в целом; ее можно оценить примерно в 0,4 %. Результаты обследования для 10 тысяч женщин такого возраста представлены на рис. 5. В среднем только у 40 из них будет рак груди, а 9960 – нет. Однако каждая десятая, или 996 женщин, не страдающих этим недугом, получит ложноположительный диагноз. С учетом 36 истинно положительных диагнозов это означает, что положительный результат теста будет правильным только в 36 из 1032 случаев, или в 3,48 % случаев. Пропорция истинно положительных результатов обследования называется точностью теста. Из 1032 женщин, получивших положительный результат, только 36 действительно больны раком груди. Иными словами, даже при положительном результате маммографии в подавляющем большинстве случаев рака груди у вас нет. Несмотря на то что тест кажется достаточно точным, низкая распространенность заболевания среди населения предопределяет высокую степень его погрешности.

Бедная Каз этого не знала – как и многие другие женщины, которые проходят такие обследования. На самом деле многие врачи не в состоянии интерпретировать положительные результаты маммографии. В 2007 году группе из 160 гинекологов была предоставлена следующая информация о точности маммографии и распространенности рака молочной железы среди населения [71].

– Вероятность заболеть раком груди у женщин составляет 1 %.

– Фактически существующий рак груди будет обнаружен с вероятностью 90 %.

– При отсутствии рака груди вероятность положительного результата теста составляет 9 %.

Затем врачам предложили выбрать, какой из приведенных ниже вариантов ответа наилучшим образом характеризует шансы на то, что у пациентки с положительной маммографией на самом деле рак груди.

A. Вероятность того, что у нее рак груди, составляет около 81 %.

B. Из 10 женщин с положительной маммографией около 9 имеют рак груди.

C. Из 10 женщин с положительным результатом маммографии рак груди есть только у 1.

D. Вероятность того, что у нее рак груди, составляет около 1 %.

Самым популярным ответом среди гинекологов был A – что положительный результат маммографии будет верным в 81 % случаев (около восьми раз из десяти). Они правы? Мы можем проверить их ответ, рассмотрев обновленное дерево решений на рис. 6. При 1 % фоновой распространенности, из 10 000 случайно выбранных женщин в среднем 100 будут иметь рак груди. У 90 из них маммография корректно обнаружит заболевание. Из 9900 женщин, у которых нет рака, 891 получит ложноположительный диагноз. Из 981 женщины с положительным диагнозом только 90 – или примерно 9 % – действительно будут больны раком. Массовая переоценка истинной величины гинекологами вызывает беспокойство. Правильный ответ «C» выбрала примерно пятая часть респондентов – этот результат хуже, чем если бы все врачи просто выбрали из четырех вариантов наугад.

Рис. 6. Из 10 000 гипотетических женщин в вопросе с несколькими вариантами ответа 90 будут правильно определены как положительные, а 891 – как положительные, несмотря на то что у них нет заболевания

В нашем случае повторные обследования, которые провела Каз, показали, что заболевания у нее нет – как и следовало ожидать. Однако переживания, которые ей пришлось вынести, типичны для большинства женщин, получающих положительный результат маммографии. При повторных маммографиях, как предписано большинством скрининговых программ, шансы получить ложноположительный результат возрастают. Если предположить, что ложноположительные результаты возникают с одинаковой вероятностью 10 % (или 0,1) в каждом обследовании, то правильный диагноз истинного отрицательного результата дается с вероятностью 90 % (или 0,9). После семи независимых тестов вероятность ни разу не получить ложноположительный результат (перемножить 0,9 шесть раз, или 0,97) падает ниже половины (примерно до 0,47). Иными словами, требуется всего семь маммограмм, прежде чем вероятность получить ложноположительный результат превысит вероятность его не получить. Поскольку женщины после 50 лет проходят маммографии каждые три года, каждая из них скорее всего получит хотя бы один ложноположительный результат в течение своей жизни.

Конечно, столь частые ложноположительные результаты вызывают вопросы о соотношении затрат и результатов программ скрининга. Высокая частота ложноположительных результатов может иметь пагубные психологические последствия и привести к тому, что пациенты будут откладывать или отменять предстоящие маммографии. Однако проблемы скрининга выходят за рамки только ложноположительных результатов. В The BMJ[72] Мюир Грей, бывший директор Британской национальной программы скрининга, признался: «Все программы скрининга вредны; некоторые из них – полезны, а некоторые приносят больше пользы, чем вреда при разумных затратах»[73].