Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс

по собственному проекту усилители – главным образом для систем оповещения. Но важнее всего оказалась внедренная Лео Фендером инновация. Услышав о новомодных электрогитарах с дребезжащими усилителями, он взялся за проектирование и производство более удачных моделей. Никто не понимает, как он к этому пришел: похоже, он просто скопировал и приспособил под свои нужды усилительные контуры из выпущенного Американской радиовещательной корпорацией “Руководства по радиоприемникам”, содержавшего базовые инструкции по сборке радиооборудования.

Первые усилители вышли из его мастерской в 1945 году. Год спустя он начал продавать усовершенствованные модели, которые прозвали “деревяшками”, потому что их корпуса изготавливались из твердой древесины. Усилители и гитары Фендера прославились на весь мир, и место, где находилась его радиомастерская в Фуллертоне, теперь отмечено табличкой и внесено в Национальный реестр исторических мест США. Невозможно, впрочем, отрицать, что по звучанию первых усилителей Фендера было ясно, что проектировал их бухгалтер, и вскоре доморощенные инженеры-электрики принялись за совершенствование конструкции.

Одна из таких попыток привела к появлению другой памятной таблички, на этот раз на стене дома номер 76 по Аксбридж-роуд в районе Хэнуэлл на западе Лондона. На табличке просто написано, что именно там Джим Маршалл продал свой первый гитарный усилитель.

Маршалл торговал главным образом барабанами – он преподавал игру на ударных, – но также и усилителями Лео Фендера. Однако в начале 1960-х годов гитаристам хотелось уйти от тонкого и чистого звука этих усилителей. Барабаны становились все громче, и гитаристам нужны были усилители, способные перекрыть их грохот – и, пожалуй, выдать более интересное звучание. Маршалл решил подзаработать на конструировании и продаже собственных усилителей с характерным оглушительным звучанием, но у него для этого недоставало инженерных навыков. Ими не располагал и работавший с ним мастер по ремонту оборудования Кен Брэн. Но Брэн знал, к кому обратиться.

Брэн был радиолюбителем и состоял в Гринфордском радиоклубе, который собирался пятничными вечерами. Именно там он познакомился с 18-летним Дадли Крейвеном, стажером-электротехником из компании EMI Electronics, находившейся в Хейсе на западе Лондона. В клубе Крейвен слыл гением электроники. После одной из пятничных встреч Брэн уговорил его зайти в закусочную выпить кофе и там предложил ему помочь им с Маршаллом в осуществлении плана[151].

Крейвен обрадовался возможности подзаработать. Вечерами после учебы и работы он стал уходить в отцовский сарай, где пускал в ход свое знание электроники, чтобы усовершенствовать конструкцию усилителя Лео Фендера. В стремлении обеспечить трескучее перегруженное звучание на чудовищной громкости, какого жаждал Джим Маршалл, он заменял часть деталей и добавлял новые. В сентябре 1963 года он понял, что движется в верном направлении, когда его первый усилитель купил Пит Таунсенд, который вскоре основал группу The Who. Таунсенд заплатил Маршаллу 110 фунтов.

Комиссия Крейвена составила менее 0,5 % – всего 10 шиллингов. Маршалловское звучание, приведшее к рождению рок-музыки, появилось благодаря таланту молодого паренька, который просто хотел заработать денег на карманные расходы. Однако ни этого звучания, ни того, что привело к его появлению, – включая изобретение радио и электрификацию Америки – не было бы без комплексных чисел.

Квадратный корень из чего?

Мнимые, или комплексные, числа – вовсе не вымысел. На самом деле они оказали на нашу жизнь гораздо более значительное влияние, чем могло бы оказать нечто поистине мнимое. Без комплексных чисел, сыгравших важнейшую роль в подведении электричества к домам, заводам и серверным фермам, обеспечивающим работу интернета, современного мира просто не существовало бы. Впрочем, прежде чем погружаться в тему, нам, вероятно, стоит объяснить, что же такое комплексные числа.

Мы уже знаем, как возвести число в квадрат (умножить его на само себя), и знаем, что отрицательные числа при возведении в квадрат становятся положительными (как помните, минус на минус дает плюс). Следовательно, (–2) × (–2) = 4. Мы также знаем, что извлечение квадратного корня – это обратная операция по отношению к возведению в квадрат. Получается, что число 4 имеет два возможных квадратных корня: 2 и –2. Комплексное число появляется, когда мы пытаемся извлечь квадратный корень из –4.

В чем здесь вообще смысл? Если возвести число в квадрат, будь оно хоть положительным, хоть отрицательным, результат будет положительным. Следовательно, невозможно произвести обратную операцию для отрицательного числа. Несомненно, так и полагал Герон Александрийский, египетский архитектор, математические хитрости которого из книги “Стереометрия” подарили нам купол Софийского собора в Константинополе. В той же книге он объяснил, как найти объем усеченной квадратной пирамиды, то есть пирамиды с усеченной верхушкой. В одном из примеров он для этого вычел 288 из 225, после чего должен был извлечь квадратный корень из полученного числа. Но число это оказалось отрицательным: –63. Следовательно, ответом был √-63.

По какой-то причине – может, кто-то решил, что в расчеты вкралась ошибка, может, переписчик неправильно скопировал текст, а может, счел это абсурдным – из дошедших до нас списков видно[152], что Герон опустил знак минуса и просто извлек √63.

Квадратные корни из отрицательных чисел и есть комплексные, или мнимые, числа. Первым о том, что их не стоит оставлять без внимания, заговорил итальянский астролог Джероламо Кардано. Мы уже встречались с Кардано в главе об алгебре, и именно так, решая кубические уравнения, он и столкнулся с этой проблемой. Сначала он назвал такие числа “невозможными случаями”. В своей книге по алгебре “Великое искусство”, вышедшей в 1545 году, он привел пример, в котором попытался разделить 10 на два числа, при перемножении дающих 40. В процессе расчетов у него возникло выражение 5+√-15.

Кардано не смутила эта неожиданная встреча. Он даже снабдил ее комментарием. Но свою мысль он записал на латыни, и переводчики не могут однозначно сказать, что он имел в виду[153]. Одни считают, что он назвал это “ложным положением”. Другие полагают, что он написал о “воображаемом” числе. Третьи утверждают, что он указал на “невозможность” решения такой задачи. Один из его последующих комментариев о том, как действовать в такой ситуации, либо велит нам “покончить с муками разума”, либо сообщает, что “воображаемые элементы теряются”. В другом месте Кардано называет это “арифметической тонкостью, которая… столь же изящна, сколь бесполезна”. Он отмечает, что ситуация “поистине сложна… невозможно провести другие операции, которые проводятся с чисто отрицательными числами”. Под чисто отрицательными числами он понимает обыкновенные отрицательные числа, например –4. Отрицательные числа его не смущали, и он написал, что “√9 равняется либо +3, либо –3, ибо плюс [умноженный на плюс] или минус, умноженный на минус, дает плюс”. Он продолжил: “√9 – это не +3 и не