Четыре дамы и молодой человек в вакууме. Нестандартные задачи обо всем на свете - Илья Леенсон

Держи атмосферу!

Вначале нужно оценить массу атмосферы. Известно, что на каждый квадратный сантиметр земной поверхности давит столб воздуха с силой около 10 Н (точнее, 9,8), т. е. масса столба воздуха площадью 1 см2 равна 1 кг. Радиус Земли – около 6000 км, площадь поверхности – 4π ∙ 60002 = 4,5 ∙ 108 км2 = 4,5 ∙ 1018 см2. Итак, масса воздуха примерно равна 4,5 ∙ 1015 т (более точное значение – 5,2 ∙ 1015 т). За миллиард лет солнечное излучение «сдувает» около 2,5 ∙ 1015 т, а за секунду – 2,5 ∙ 1015 /109 ∙ 365 ∙ 24 ∙ 3600 = 2,5 ∙ 108 /3 ∙ 1016 ~ 100 кг.

Испарившийся метеорит

Кинетическая энергия метеорита идет на его нагрев, а также на нагрев воздуха. Можно в первом приближении предположить, что обе величины равны. Кинетическая энергия метеорита массой m равна E = mv2/2, на его нагрев ушло mv2/4. Предположим, что температура метеорита в космосе была равна 0 °С (в полете к Земле он нагревался Солнцем). Тогда на нагрев метеорита до температуры плавления ушло m ∙ 0,456 ∙ (1538 – 20) ≈ 690m кДж, на само плавление – 272m кДж, на нагрев расплава до температуры кипения – m ∙ 0,820 ∙ (2870 – 1538) ≈ 1090m кДж и, наконец, на испарение – 6095m кДж. Из уравнения mv2/4 = 8 150 000m (энергия в СИ должна быть выражена в джоулях, тогда скорость получим в единицах м/с) после сокращения на m получаем: v ≈ 5700 м/с.

Стремление к глубине

Спуститься в сверхглубокую шахту человек пока не может. Другой вариант – побывать на дне самой глубокой впадины, расположенной на дне Тихого океана (11 км от поверхности). Там действительно побывало (с помощью батискафа) несколько исследователей. Однако можно подобраться к центру Земли еще ближе. Дело в том, что из-за вращения Земля – не идеальный шар, она приплюснута на полюсах: расстояние от ее центра до экватора равно 6378 км, а от центра до полюса – 6357 км, т. е. на 21 км меньше, что с лихвой перекрывает глубину Марианской впадины. Какой полюс выбрать? На Южном полюсе, чтобы добраться до уровня моря (а все расстояния от центра Земли даны именно до этого уровня), надо еще пробить ледяной щит Антарктиды и сам материк (несколько километров). На Северном полюсе, напротив, можно еще на пару километров опуститься на дно Ледовитого океана – технически для этого нет никаких препятствий.

Осторожнее с солнцепоклонниками!

Если речь идет о Северном полушарии, то зимой наша планета ближе к Солнцу, чем летом! 2 января (в перигелии) расстояние от Земли до Солнца равно 147,1 млн км, а 6 июля (в афелии) – 152,1 млн км. Разница слишком мала (около 3 %), чтобы объяснить и потепление, и увеличение светового дня, даже если бы Земля приближалась к Солнцу летом. Просто летом на наше полушарие падает больше света (в Южном полушарии, как известно, все наоборот). Это объясняется наклоном земной оси относительно плоскости ее вращения вокруг Солнца.

Одолженный свет

1. Поскольку Солнце находится на расстоянии 150 млн км от Земли, а зайчики пускают на значительно меньшие расстояния, поток света от Солнца можно считать параллельным. Размеры солнечного зайчика увеличиваются с возрастанием расстояния от зеркала из-за того, что отраженный свет слегка рассеивается от обеих сторон стеклянной пластинки зеркала – посеребренной и наружной. В результате отраженный (например, от круглого зеркала) луч имеет форму не цилиндра, а конуса. Чтобы отраженный свет не расходился, необходимо, чтобы отражение было идеальным и рассеяние отсутствовало. Это возможно в том случае, если шероховатости как зеркального слоя, так и внешней поверхности зеркала будут меньше длины волны падающего света (она в среднем равна примерно 0,5 мкм). Конечно, стекла обычных зеркал с такой точностью не шлифуют – в этом нет необходимости. (Следует отметить, что на больших расстояниях на увеличении размера отраженного пучка сказывается также волновая природа света.)

2. Если первая задача решена правильно, то решить вторую уже проще. В полнолуние Луна и Солнце находятся по разные стороны Земли. Если бы Луна отражала солнечный свет как идеальное плоское зеркало, то на Землю упал бы неослабленный пучок солнечного света в виде цилиндра. Диаметр светового пучка был бы равен диаметру Луны, а так как видимые размеры солнечного и лунного диска почти совпадают (вспомним полное солнечное затмение!), то освещенность Земли при этом была бы такой же, как от прямых солнечных лучей в полдень. Но Луна – не плоский блин и тем более не зеркало, а весьма неровная каменистая сфера; Солнце освещает только половину этой сферы, которая в полнолуние обращена к Земле.

В первом приближении можно считать, что рассеяние отраженного солнечного света Луной происходит равномерно во все стороны полусферы. Если бы не было потерь на поглощение света, освещенность на Земле снизилась бы во столько же раз, во сколько раз площадь полусферы с радиусом r (расстояние от Земли до Луны) больше площади лунного диска. Площадь полусферы равна 2πr2, площадь лунного диска – πd2/4. Таким образом, освещенность снижается в 2πr2/(πd2/4) = 8(r/d)2 = 8(380 000/3500)2 = 105 000 раз. Но из-за того, что 93 % падающего на Луну солнечного света поглощается, освещенность уменьшается в 100/7 = 14,3 раза, а в целом – в 1 500 000 раз.

Отражательную способность поверхности ученые называют «альбедо» (лат. albus – «светлый»). При этом различают геометрическое альбедо (т. е. идеальное отражение от плоскости с рассеиванием света) и сферическое (т. е. отражение солнечного света с учетом формы отражающей поверхности). Если бы Луна была зеркальным шаром, Солнце отражалось бы в нем в виде маленькой (4’’), но очень яркой звезды. При этом Луна светила бы ночью примерно вдвое ярче, чем сейчас.

Есть и другое решение этой задачи. Мысленно увеличим радиус Солнца от его истинного размера 700 000 км до радиуса орбиты Земли – 150 млн км. Тогда яркость поверхности Солнца уменьшится пропорционально квадрату увеличения, т. е. в 46 200 раз. Поэтому Луна, находящаяся как раз на таком расстоянии, получает в 46 200 раз меньше солнечного света. Учитывая альбедо Луны 7 %, получаем, что она светит слабее Солнца в 46 200/0,07 = 660 000 раз.

Экспериментальное определение показало, что освещенность от Луны меньше, чем от Солнца, примерно в 500 000 раз, т. е. ошибка при наших подсчетах оказалась не такой уж большой.

«Эти недавние затмения, солнечное и лунное!»

Лунные затмения происходят, когда Земля находится на одной линии между Солнцем и Луной, так что тень Земли заслоняет Луну. Это явление видно на всем полушарии, обращенном к Луне. А полное солнечное затмение видно в очень ограниченной области, так как лунная тень прочерчивает на Земле довольно узкую полосу – от нескольких десятков до 270 км, причем часто эта полоса проходит через моря и океаны или через малонаселенные участки Земли, что резко снижает вероятность наблюдения полного затмения. Например, в Москве последнее полное солнечное затмение произошло 25 февраля 1476 года, а следующее будет только 16 октября 2126 года.