Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

Равносторонний треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех равных между собой отрезков, пересекающихся под углом 60°. Квадрат – фигура, состоящая из четырех равных между собой отрезков, пересекающихся под углом 90°. Это примеры правильных многоугольников – фигур, состоящих из равных между собой прямых отрезков, пересекающихся под равными углами. На рисунке изображен правильный семиугольник (гептагон[170]).

Некоторые дорожные знаки (например, знак «Движение без остановки запрещено») имеют форму правильного восьмиугольника (октагона).

Задумавшись на секунду, мы поймем, что правильных многоугольников бесконечно много: существует правильный n-угольник при любом натуральном n ≥ 3.

Мы вычерчиваем многоугольники на плоскости. А как насчет родственных им фигур в трехмерном пространстве?

Многогранники

«Перешедшие на следующий уровень» многоугольники в трехмерном пространстве называют многогранниками (или полиэдрами). Многогранник – это пространственная фигура с плоскими гранями, каждая из которых представляет собой многоугольник. Среди наиболее известных многогранников – треугольная призма и пирамида с квадратным основанием. Треугольная призма состоит из трех прямоугольников и двух треугольников. Пирамида состоит из четырех треугольников и одного квадрата.

Как расширить идею правильного многоугольника на пространственные фигуры? Правильный многогранник имеет конгруэнтные[171] грани и углы.

Расширение до трех измерений требует, чтобы все части многогранника были конгруэнтны между собой. Таким образом:

– все ребра многогранника равны между собой;

– все углы, под которыми пересекаются два ребра, равны между собой;

– в каждой вершине пересекается одинаковое число ребер;

– все углы между соседними гранями равны между собой.

Из первых двух условий следует, что все грани правильного многогранника конгруэнтны и представляют собой правильные многоугольники.

Наверное, самый известный правильный многогранник – это куб, состоящий из шести граней, каждая из которых представляет собой правильный четырехугольник (квадрат). На рисунке изображены еще четыре правильных многогранника.

• Тетраэдр состоит из 4 равных между собой треугольников.

• Октаэдр состоит из 8 равных между собой треугольников (вообразите, что вы склеили две пирамиды с квадратным основанием).

• Додекаэдр образован 12 правильными пятиугольниками.

• Икосаэдр состоит из 20 равносторонних треугольников.

На рисунке изображены развертки правильных многогранников. Вы можете перерисовать эти фигуры, вырезать их и склеить бумажные модели. В продаже бывают наборы для изготовления правильных многогранников.

Пять правильных многогранников известны под названием платоновы тела[172]. Существуют ли другие правильные многогранники?

На рисунке вы видите звездчатый икосаэдр, чьи грани представляют собой равносторонние треугольники, однако эта пространственная фигура не является правильным многогранником, потому что не все грани пересекаются под равными углами, и не во всех вершинах пересекается одинаковое число ребер (при острых углах пересекаются три ребра, а в звездчатом центре – десять ребер).

Найти другие правильные многогранники нам поможет чудесная формула, названная в честь Леонарда Эйлера (мы впервые познакомились с ним в главе 7).

Формула Эйлера для многогранников

У многоугольника столько же углов, сколько сторон. Ситуация с многогранниками сложнее: у них есть вершины, ребра и грани. В таблице указано, сколько каких элементов есть у многогранников, с которыми мы познакомились в этой главе:

Изучите таблицу повнимательней. Видите ли вы взаимосвязь между количеством вершин, ребер и граней? Она есть, и достаточно простая. Ответ вы найдете ниже, но гораздо интереснее вывести формулу самостоятельно. Обозначьте количество вершин, ребер и граней буквами V, E и F соответственно[173].