Великая теорема Ферма - Саймон Сингх

Из-за секретности, окружавшей работу в Бличли парке, огромный вклад Тьюринга и его группы в победу союзников не мог быть признан публично даже через много лет после окончания войны. Принято говорить, что первая мировая война была войной химиков, а вторая мировая война стала войной физиков. В действительности, судя по той информации, которая стала известна за последние десятилетия, по-видимому, правильнее было бы сказать, что вторая мировая война была также войной математиков. В случае третьей мировой войны вклад математиков был бы еще более значительным.

Но и в самый разгар своей деятельности в качестве взломщика кодов Тьюринг не забывал о своих чисто математических исследованиях. На смену воображаемым машинам пришли реальные, но тонкие вопросы, доступные пониманию только посвященных, оставались нерешенными. К концу войны Тьюринг оказал помощь в постройке «Колосса» — полностью электронной вычислительной машины, на 1500 электронных лампах, работавших гораздо быстрее, чем электромеханические реле, которые использовались в «бомбах». «Колосс» был компьютером в современном смысле слова. Необычайное (по тем временам) быстродействие и достаточно высокая сложность «Колосса» навели Тьюринга на мысль рассматривать эту вычислительную машину как примитивный мозг: «Колосс» обладал памятью, он мог обрабатывать информацию, и внутренние состояния компьютера напоминали состояния человеческого мозга. Свою воображаемую машину Тьюринг превратил в первый реально действующий компьютер.

По окончании второй мировой войны Тьюринг продолжал строить все более сложные вычислительные машины, такие, как Automatic Computing Engine (ACE) — Автоматическую вычислительную машину. В 1948 году Тьюринг перешел на работу в Манчестерский университет и построил первый в мире компьютер с программой, которая хранилась в электронном виде. Благодаря Тьюрингу, Британия стала обладательницей самых мощных компьютеров в мире, но он прожил он недостаточно долго для того, чтобы увидеть наиболее выдающиеся успехи компьютерных вычислений.

В послевоенные годы Тьюринг находился под наблюдением Intelligence Service. Разведчики, считая Тьюринга гомосексуалистом и опасаясь, что человек, знающий о британских секретных кодах больше, чем кто-либо другой, может стать объектом шантажа, следили за каждым его шагом. Тьюринг даже смирился, что неотступно находится под колпаком у разведслужб, но в 1952 году был арестован за нарушение британских законов о гомосексуалистах. Это унижение стало для Тьюринга последней каплей, переполнившей его терпение. Эндрю Ходжес, биограф Тьюринга, так описывает событие, приведшее к его смерти: «Смерть Алана Тьюринга стала сильнейшим потрясением для всех, кто его знал… То, что он был несчастным человеком, находившимся в состоянии нервного напряжения, что он консультировался у психиатра и, как и многие другие, перенес удар, — все это было ясно. Но суд состоялся два года назад, лечение гормонами закончилось годом раньше, и он, казалось, стал выше всего этого.

Расследование, произведенное 10 июня 1954 года, установило, что это было самоубийство. Тьюринга нашли лежащим навзничь в постели. Вокруг его рта была пена. Патологоанатом, проводивший посмертное вскрытие, определил причину смерти как отравление цианидом калия… В доме находился сосуд с цианидом калия и еще один сосуд с раствором цианида. Рядом с кроватью лежала половинка яблока со следами укусов. Анализ яблока не производился».

* * *

Наследием Тьюринга стал компьютер, способный производить за несколько часов вычисления, которые заняли бы у человека непозволительно много времени. Современные компьютеры успевают за долю секунды произвести больше арифметических операций, чем Ферма сделал за всю свою жизнь. Те математики, которые все еще вели неравную борьбу с Великой теоремой Ферма, начали компьютерную атаку на проблему, полагаясь на компьютерную версию подхода, развитого Куммером в XIX веке.

Куммер, обнаружив пробел в работах Коши и Ламе, установил, что трудностей при доказательстве Великой теоремы Ферма удается избежать, если показатель n равен нерегулярному простому числу (при n, не превышающих числа 100, нерегулярны только простые числа 37, 59 и 67). В то же время, Куммер показал, что теоретически все случаи с нерегулярными значениями показателя n могут быть рассмотрены индивидуально. Единственная проблема заключается лишь в том, что каждый случай требует огромного объема вычислений. Сколь велик объем вычислений наглядно демонстрирует то, что Куммер и его коллега Дмитрий Мириманов потратили три недели, чтобы выполнить все вычисления для трех нерегулярных простых чисел, не превышающих числа 100. Но ни они, ни другие математики не были готовы к тому, чтобы приступить к вычислениям для следующей группы нерегулярных простых чисел в интервале от 100 до 1000.

Через несколько десятилетий проблемы, связанные с огромным объемом вычислений, стали существенно более доступными. С появлением компьютера большому объему вычислений, связанных с доказательством Великой теоремы Ферма, стало возможно противопоставить быстродействие вычислительных машин. И после второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1000, а позже до 10000. В 80-е годы Сэмюэль С. Вагстафф из университета Пурду поднял предел до 25 000, а совсем недавно математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов.

И хотя нематематикам могло бы показаться, что положение с доказательством Великой теоремы Ферма, наконец, стало лучше, математическое сообщество сознавало, что успех носит чисто косметический характер. Даже если бы суперкомпьютеры провели десятилетия в непрерывных вычислениях, доказывая Великую теорему Ферма при значениях n одно за другим, то и тогда им не удалось бы доказать теорему для каждого значения n до бесконечности, и поэтому никто не мог бы утверждать, что Великая теорема Ферма доказана во всей общности. Ведь даже если бы теорему удалось доказать для n до миллиарда, то и тогда не было бы никаких причин, по которым она должна была бы быть верна для n, равного миллиарду плюс один. Если бы теорему удалось доказать для n до триллиона, то нет причин, по которым она должна была бы быть верна для n, равного триллиону плюс один, и т. д. до бесконечности. Бесконечность недостижима за счет одной лишь грубой силы — перемалывания чисел с помощью компьютера.

Дэвид Лодж в своей книге «Странствия в картинках» приводит красочное описание вечности, имеющее отношение к аналогичному понятию бесконечности: «Представьте себе стальной шар размером со Вселенную и муху, которая садится на него раз в миллион лет. Когда этот стальной шар обратится в пыль от трения, вечность еще даже не начнется». Тем не менее, результаты, полученные с помощью компьютеров, свидетельствовали в пользу Великой теоремы Ферма. Поверхностному наблюдателю могло показаться, что этих результатов предостаточно, но сколько бы ни было данных, любое их количество не могло удовлетворить математиков — сборище скептиков, которые не признают ничего, кроме абсолютного доказательства. Экстраполяция теории на бесконечное множество чисел, опирающаяся на результаты, полученные для конечного количества чисел, — игра рискованная (и неприемлемая).