Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Мне всегда нравилась история из последней книги Льюиса Кэрролла – «Сильвия и Бруно. Окончание истории» (Sylvie and Bruno Concluded, 1893). Речь там идет о стране, в которой не понимали, насколько важно отбрасывать информацию при составлении карт. Местные жители гордились точностью своих карт:

В этом шутливом диалоге Кэрролл показывает, что при создании карт приходится выбирать, чего именно в них включать не следует.

Некоторые из самых первых карт, созданных людьми, были картами не Земли, а неба. В пещере Ласко на юго-западе Франции есть изображение Плеяд – звезд, которые часто использовались в качестве знака начала нового годового цикла. Одна из первых карт Земли – это глиняная табличка, созданная каким-то вавилонским писцом, возможно, еще за 2500 лет до нашей эры. На ней изображена речная долина между двумя холмами. Холмы обозначены полукружьями, реки – линиями, города – кружками. Кроме того, на карте указано, как ее следует ориентировать.

Вавилоняне же первыми предприняли попытку создать карту всего мира; это было за 600 лет до нашей эры. Эта карта – изображение скорее символическое, чем буквальное. На ней представлена округлая суша, окруженная водой, что соответствовало представлению вавилонян о конфигурации мира.

Но, когда было установлено, что Земля имеет форму не плоскую, а сферическую, создание двумерных карт сферической поверхности стало для картографов интересной, но трудной задачей. Принято считать, что хитроумное решение этой задачи нашел фламандский картограф XVI века Герард Меркатор.

Поскольку дело было в эпоху морских экспедиций, исследовавших нашу планету, главной целью Меркатора было создать карту, которая поможет мореплавателям попадать из одной точки планеты в другую. Главным навигационным прибором был компас. Самым простым способом добраться из точки А в точку Б было выбрать такое постоянное направление по компасу, чтобы корабль, следующий в этом направлении, приходил в нужную точку.

Такие линии наклонены под постоянным углом к меридианам, проходящим с севера на юг. Они называются локсодромами[72]; если такую линию начертить на глобусе, можно увидеть, что она образует спираль, сходящуюся к Северному полюсу[73].

Это не самый короткий путь из А в Б, но тем, кого больше беспокоит опасность сбиться с курса, такой путь подходит лучше всего.

Карта Меркатора обладает тем чудесным свойством, что эти криволинейные маршруты превращаются на ней в прямые линии. Если вам нужно найти правильный угол для курса из точки А в точку Б, достаточно провести прямую между этими двумя точками на карте Меркатора, и угол, под которым она будет наклонена к меридианам, идущим на север, будет тем углом, курс на который вам нужно держать при переходе через океан.

Рис. 5.5. Локсодрома идет под постоянным углом к меридианам

Такая проекция сферы на прямоугольник называется конформным отображением, потому что она сохраняет углы. Добиться этого можно следующим образом. Представим себе, что Земля – это воздушный шарик, вся поверхность которого покрыта невысохшими чернилами. Обернем вокруг Земли цилиндр так, чтобы он прикасался к экватору. Теперь начнем надувать Землю так, чтобы по мере раздувания шарика ее поверхность постепенно приходила в соприкосновение с цилиндром, а чернила отпечатывали на нем карту.

Развернем цилиндр – и у нас получится карта. Таким способом невозможно изобразить на карте полюса, так что на верхнем крае карты оказывается параллель, близкая к полюсу[74]. Такая карта все сильнее растягивает параллели по мере продвижения на север или на юг от экватора. Для тех, кто был в море, она была великолепным инструментом, к чему, видимо, и стремился Меркатор, ибо он дал своей карте следующее название: «Новое и более полное описание земного шара, должным образом приспособленное для использования в навигации» (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata, 1569).

Хотя на этой карте сохраняются углы между линиями, проведенными на глобусе, этого не происходит с площадями и расстояниями. И это обстоятельство имело очень важные политические последствия. Карта была настолько полезна, что в течение столетий она оставалась общепризнанным представлением о том, как выглядит наша планета. Но на ней чрезвычайно сильно преувеличено место, которое занимают страны, удаленные от экватора, – к примеру, Нидерланды и Великобритания. Например, если начертить круг на экваторе и другой круг такого же размера в Гренландии, в проекции Меркатора площадь второго круга увеличится в десять раз. Скажем, Африка на карте имеет те же размеры, что и Гренландия, хотя на самом деле она в 14 раз больше по площади.

Карта Меркатора противоречила политическим соображениям постколониальной эпохи, и вместо нее ЮНЕСКО приняло в качестве официальной альтернативную проекцию, которая называется проекцией Галла – Петерса. Эту карту широко используют в британских школах, но в школах Соединенных Штатов – в Бостонском школьном округе – она заменила карту Меркатора лишь в 2017 году. Многие другие американские школьные округа так и не последовали этому примеру. Многим гражданам Соединенных Штатов кажется, что уменьшение размеров США не согласуется с тем местом, которое их страна занимает на мировой арене.

По правде говоря, в любой карте неизбежны компромиссы. Собственно говоря, это обстоятельство открыл Гаусс, когда исследовал природу кривизны разных геометрий. Он назвал свое открытие «Theorema Egregium», то есть «Замечательной теоремой»: в ней он доказал, что плоской картой невозможно обернуть сферический глобус без искажения расстояний. На любой карте планеты приходится жертвовать чем-нибудь. Карта Галла – Петерса точно отражает площади, но не формы стран. Длина Африки получается вдвое большей ее ширины, тогда как на самом деле форма этого континента ближе к квадратной.

Разумеется, на большинстве карт Северное полушарие всегда находится вверху, а Южное – внизу. Но сферы симметричны, так что нет никаких причин, по которым карта не может быть ориентирована наоборот. Выбор ориентации опять-таки отражает то обстоятельство, что карты составляли обитатели Северного полушария.