Математика для гиков - Рафаель Роузен

Иногда бесконечность понимается как невероятно большое число, но такое понятие не совсем точное. Бесконечность – на самом деле не число, это идея. Это концепция непрерывности и безграничности. Тем не менее она появляется в математике снова и снова. Мы говорим, что последовательность чисел в Пи продолжается бесконечно; то же происходит, когда 1 делят на 3. В геометрии мы говорим, что на линии существует бесконечное множество точек и что линии тянутся в обоих направлениях бесконечно. Бесконечность является и родным, и чужим понятием в математическом мире.

Бесконечность также появляется в искусстве. М. К. Эшер изобразил муравьев, ползущих по ленте Мебиуса в, казалось бы, бесконечном путешествии, а в рассказе «Вавилонская библиотека» писатель Хорхе Луис Борхес создал бесконечное хранилище книг, содержащее каждый возможный набор букв и знаков препинания, коллекцию, которая обязательно содержит каждую когда-либо написанную книгу и которая будет написана в будущем.

Понятие бесконечности привело также к весьма странным идеям. В конце XIX века и в начале XX века математик Георг Кантор считал, что бесконечности могут иметь разные размеры. И натуральные числа (1, 2, 3, 4…), и действительные числа (которые включают такие числа, как Пи, 1/3 и 45,6778765) бесконечны, но бесконечность действительных чисел больше, чем натуральных. Размышления о бесконечности приводят и к другим неожиданным понятиям. Вы можете подумать, что количество точек в линии длиной в 1 фут меньше, чем на линии бесконечной длины, но на самом деле обе линии содержат одинаково бесконечное количество точек.

Бесконечность поражает, но, как и многое, связанное с математикой, взрывает мозг самыми загадочными и обескураживающими путями.

Финитизм

Не все математики принимают понятие бесконечности. Одна ветвь философии математики известна как финитизм; ее приверженцы утверждают, что только конечные объекты реальны. Как выразился математик Леопольд Кронекер: «Бог создал натуральные числа. Все остальное – дело рук человека».

В 1202 году итальянский математик опубликовал «Книгу абака», которая содержала то, что было признано как магическая последовательность чисел. В последовательности Фибоначчи (в честь математика, которого звали Леонардо Фибоначчи) числа на первый взгляд кажутся безобидными. Последовательность начинается с 1 и 1 (или иногда 0 и 1) и каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Таким образом, так как 1 + 1 = 2, 2 – следующее число в последовательности, потом идут 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее. Одной интересной особенностью этой последовательности является то, что числа сравнительно быстро становятся большими. (Если посчитать последовательность, состоящую из 18 позиций, получится следующее: 0, 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584.) Но другим более примечательным аспектом последовательности Фибоначчи служит то, что невероятным образом числа Фибоначчи являются частью природы.

Кажется, что, если вы посмотрите на мир с математической точки зрения, вы найдете числа Фибоначчи повсюду. Вы можете их найти, например, в том, как растут листья. Расположение листьев на стебле называется филлотаксисом, от греческого слова, которое переводится как «растение» и «расположение». На некоторых растениях листья прорастают из стебля по спирали. Если вы возьмете один лист и будете продвигаться наверх по стеблю по этой спирали, то сможете посчитать, через сколько листьев вы дойдете до позиции на стебле прямо над тем первым листом. Соотношение числа листьев по ходу стебля от первого листа до листа прямо над первым листом и количества раз, пройденных вокруг стебля, состоит из двух чисел Фибоначчи и называется филлотаксическим соотношением. Например, соотношение листьев яблони составляет 2:5, а для листьев ежевики и лещины обыкновенной – 1:3.

Или возьмите сосновую шишку. Если вы посмотрите сверху на верхушку шишки, вы сможете различить два вида кривых: одни закручиваются по часовой стрелке, другие – против часовой. Если вы посчитаете оба вида, увидите, что они являются смежными числами Фибоначчи.

Пчелы и Фибоначчи

Числа Фибоначчи также можно встретить в родословной медоносных пчел. Так как особи мужского пола развиваются из неоплодотворенных яиц, у них есть только один из родителей (пчелиная матка). Особи женского пола, с другой стороны, развиваются из оплодотворенных яиц и имеют двух родителей. Если проанализировать предков пчел мужского и женского полов, то числа Фибоначчи становятся заметными: мужские особи имеют 1 родителя, 2 бабушек и дедушек, 3 прабабушек и прадедушек, 5 пра-прабабушек и прапрадедушек, 8 пра-прапрабабушек и прапрапрадедушек и так далее. У женских особей 2 родителя, 3 бабушки и дедушки, 5 прабабушек и прадедушек, 8 прапрабабушек и прапрадедушек и так далее.

Числа окружают нас и выполняют широкий спектр функций. Некоторые, такие, как цифры на светофоре, показывают людям, через сколько они могут трогаться с места. Другие, такие, как числа в спорте в системе подсчета очков, помогают нам отслеживать, какая команда выигрывает. Те, что используются в медицинских осмотрах, помогают нам оценить состояние нашего здоровья (например, кровяное давление или уровень холестерина) и думать более основательно о тех уголках мира, которые нам трудно почувствовать. А некоторые числа используются для классификации и организации. Вы можете увидеть эти числа на корешках книг в библиотеке, а принадлежат они десятичной классификации Дьюи.

Система была сформулирована Мелвилом Дьюи и опубликована в 1876 году, когда он работал в библиотеке Амхерстского колледжа. Она революционизировала библиотечное дело. До введения системы Дьюи библиотечные книги обычно ставили по дате их появления в библиотеке. Вместо этого Дьюи сделал возможным распределять полки с книгами, согласно их теме, тем самым пользователям библиотек было легче самим искать и находить нужные книги. (До этого пользователям нельзя было брать книги с полок самостоятельно, это делали за них библиотекари.) Ниже приведены десять категорий, которые входят в десятичную систему Дьюи:

000 – 099: общие темы

100 – 199: философия и психология

200 – 299: религия

300 – 399: социальные науки

400 – 499: язык

500 – 599: естественные науки и математика

600 – 699: техника

700 – 799: искусство

800 – 899: литература и риторика

900 – 999: история, география и биография

Скорее всего, эта книга, которую вы сейчас читаете, попадет в секцию математики с индексом 510.