Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

«мембрана») еще более высоких размерностей. Более того, если мы хотим, чтобы «теория великого объединения», которую называют еще теорией струн, а иногда М-теорией, была математически непротиворечивой, эти струны и браны должны вибрировать в пространстве, в котором не меньше девяти измерений.

Таким образом, теория струн требует, чтобы во Вселенной помимо трех знакомых нам измерений было еще шесть. Почему мы их не видим? На сей счет есть две гипотезы. Одна, давняя любимица сторонников теории струн, состоит в том, что шесть дополнительных измерений «компактифицированы», то есть свернуты в кольца исчезающе малого радиуса (представьте себе садовый шланг: издалека он выглядит как одномерная линия, но если взглянуть поближе, у него есть еще и крошечное круглое измерение). Однако в последнее время физики задумались и о том, что дополнительные измерения могут быть и макроскопического масштаба или даже бесконечного размера. А мы их не замечаем, поскольку все частицы, составляющие знакомый нам мир, застряли в трехмерной мембране, плывущей в мире высшей размерности. Если окажется, что это так, мы попадем примерно в то же положение, что и флатландцы. Но Квадрату, чтобы узнать о существовании высших измерений, потребовался визит Незнакомца, а мы пришли к этой гипотезе посредством теоретических рассуждений и, вероятно, даже сумеем подтвердить ее экспериментально. (Для этого, например, можно столкнуть субатомные частицы и посмотреть, не исчезнут ли в дополнительном измерении какие-то из новых частиц, возникших в результате столкновения.)

Из теории струн следует, что нас окружают невидимые измерения, и если окажется, что это правда – очень большое «если», кстати – это станет очередной коперниковской революцией, поскольку перевернет представления о нашем месте в порядке вещей. Как выразился физик Нима Аркани-Хамед, «Земля – не центр Солнечной системы, Солнце – не центр нашей Галактики, наша Галактика – всего лишь одна из миллиардов себе подобных во Вселенной, не имеющей центра, а теперь еще и вся наша трехмерная Вселенная может оказаться тонкой мембраной в полномасштабном многомерном пространстве. Если рассмотреть сечения через дополнительные измерения, то окажется, что наша Вселенная занимает одну бесконечно малую точку в каждом сечении, а вокруг пустота».

Остается один важный вопрос, который Эдвин Эбботт во «Флатландии» не затронул. Этот вопрос неявно задал Аристотель (впрочем, и он оставил его без удовлетворительного ответа): почему наш привычный мир имеет три измерения? С середины XIX века известно, что это не вопрос геометрической необходимости. Способна ли наука дать на него ответ? Или это просто космическая случайность?

Сторонники теории струн выдвинули несколько необычайно элегантных и изящных гипотез, объясняющих, как из девяти пространственных измерений, которые предполагает эта теория, после Большого взрыва раздулись до огромных размером ровно три, а остальные шесть оказались задавлены и остались крошечными. Но есть и другое объяснение, вероятно, более понятное: в мире, где количество пространственных измерений отличается от трех, не могут существовать существа вроде нас. В пространстве с размерностью выше трех невозможны стабильные орбиты планет (это доказал 100 лет назад Пауль Эренфест). Не будет в нем и стабильных орбит для электронов внутри атомов. Поэтому в мире, где больше трех измерений, не будет никакой химии, а следовательно, никаких живых существ, чье существование основано на химических процессах.

А что можно сказать о мире, где пространственных измерений меньше трех? Как уже отмечалось, в двумерной Флатландии, как и в других пространствах с четным числом измерений, не могут без помех распространяться звуковые волны. Однако трудности не ограничиваются звуком – в пространстве с четным числом измерений невозможно передавать четкие сигналы любого вида. А значит, в этом мире нельзя и перерабатывать информацию, без чего немыслима разумная жизнь. Так что методом исключения (пусть читатель в качестве упражнения подумает, почему разумная жизнь не могла бы существовать в одномерной Лайнландии) мы приходим к выводу, что единственный мир, подходящий для существования созданий вроде нас – перерабатывающих информацию и основанных на химических процессах – это мир, в котором пространственных измерений ровно три.

Поэтому неудивительно, что мы очутились в трехмерном мире. (Физики называют это «антропный принцип»). И нечего роптать. В фундаментальном смысле трехмерное пространство – самое богатое из всех возможных. Чем оно лучше одномерного и двумерного, очевидно: в Лайнландии и Флатландии нет места для интересной сложности. (Вспомните, как визуально бедна жизнь во Флатландии, где все предметы выглядят как отрезки.) Что до пространств с четырьмя и больше измерениями, там все слишком «легко»: так много степеней свободы, так много вариантов поворотов и движений, что любые сложности сразу реконструируются и исчезают. Нужный градус творческого напряжения достигается лишь в трехмерном пространстве – вот, наверное, почему математики считают его самым интересным и трудным для изучения.

Возьмем хотя бы гипотезу Пуанкаре, одну из величайших и самых неподатливых задач современной математики. В целом она гласит, что любое n-мерное тело, обладающее определенным алгебраическим свойством, можно при помощи разных манипуляций превратить в n-мерную сферу. Пуанкаре сформулировал эту гипотезу в 1904 году. К 1961 году удалось доказать, что она справедлива в любых пространствах пяти измерений и выше. В 1982 году гипотеза была доказана для четырехмерного пространства. Но лишь в нашем веке Григорию Перельману удалось разобраться с самым, как выяснилось, сложным случаем гипотезы Пуанкаре – случаем трехмерного пространства.

Приучив себя к мысли о «более пространственном пространстве», чем наш трехмерный мир, мы, несомненно, расширили границы своего воображения, и это способствовало научному прогрессу. И теперь мы, несомненно, можем понять, почему Квадрату, не говоря уже о всевозможных теософах, платониках и кубистах, так хотелось вознестись в чертоги четвертого измерения и дальше. Но нам не обязательно следовать за ними. Что касается интеллектуальных богатств и эстетического разнообразия, нам вполне достаточно трехмерного мира.

Глава десятая. Комедия красок

Полтораста лет назад один студент, раскрашивая карту Англии, заметил, что ему хватает всего четырех цветов, чтобы соседние графства, например, Кент и Саффолк, не получились одного цвета. Это подтолкнуло его к мысли, что четырех цветов хватит для любой карты – и настоящей, и придуманной. Он поделился этой досужей идеей с братом. Брат, в свою очередь, рассказал о ней одному выдающемуся математику, который, немного поэкспериментировав и проверив, правдоподобна ли эта гипотеза, попытался ее доказать – и не сумел.

В последующие десятилетия при попытке решить проблему четырех красок оказались в тупике и многие другие математики, а с ними и множество дилетантов, в том числе великий французский поэт, основатель американского прагматизма и по меньшей мере один епископ Лондонский. Формулировка этой задачи так проста, что ее поймет каждый ребенок, но при этом