Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Рис. 4.5. Сумма углов треугольника на поверхности сферы оказывается больше 180 градусов

Рис. 4.6. Сумма углов треугольника на поверхности псевдосферы оказывается меньше 180 градусов

Открытие искривленных геометрий было одним из самых интересных достижений математики начала XIX века. Однако это открытие породило своего рода склоку между тремя математиками, каждый из которых утверждал, что первооткрывателем этих геометрий был именно он. Впервые идею таких новых геометрий одновременно обнародовали в 1830-х годах русский математик Николай Иванович Лобачевский и венгр Янош Бойяи. Открытие Бойяи произвело сильное впечатление на его отца[59], который не замедлил похвастаться этим достижением своему близкому другу, Карлу Фридриху Гауссу. Однако ответ Гаусса на письмо Бойяи-отца был довольно язвительным:

Оказывается, Гаусс открыл эти искривленные геометрии со странными шорткатами по поверхностям много лет назад, когда проводил геодезические съемки Ганновера. Для этого ему пришлось заниматься триангуляцией территории королевства подобно тому, как это делали Мешен и Деламбр, когда определяли длину метра. Хотя сперва эта работа казалась великому математику нудной и монотонной, она послужила катализатором для глубоких теоретических размышлений. Гаусс задумался, не может ли быть искривленной не только поверхность Земли, но и сама геометрия пространства. Он решил использовать некоторые из своих измерений треугольников, чтобы проверить, не могут ли световые лучи, направленные между вершинами трех холмов вокруг его дома в Геттингене, образовать треугольник, сумма углов которого будет отличаться от 180 градусов.

Свет обожает шорткаты. Он всегда находит кратчайшую линию между двумя точками. Поэтому, если бы сумма углов оказалась не равной 180 градусам, это означало бы, что свет распространяется в пространстве по криволинейной траектории. Гаусс надеялся доказать, что трехмерное пространство на самом деле искривлено, как двумерная поверхность Земли. Когда он не обнаружил никаких расхождений, он забросил эти идеи, потому что эти новые искривленные геометрии противоречили его убеждению, что цель математики – описывать Вселенную, которую мы наблюдаем вокруг себя. С тех немногих друзей, с которыми он обсуждал свои исследования, он взял обет молчания.

Теперь мы знаем, что Гаусс работал на слишком малом масштабе, не позволявшем обнаружить кривизну пространства. Возрождение интереса к проверке идей Гаусса вызвала новая теория гравитации и геометрии пространства-времени Альберта Эйнштейна.

Эйнштейн открыл, что расстояние между двумя объектами в пространстве может изменяться в зависимости от того, кто наблюдает эти объекты. При перемещении со скоростью, близкой к скорости света, расстояния сжимаются. От состояния наблюдателя зависит и время. Последовательность событий может изменяться в зависимости от того, как движется наблюдатель. Великим открытием Эйнштейна было осознание того факта, что время и пространство следует рассматривать как части единого целого в рамках четырехмерной геометрии с тремя пространственными и одним временным измерением. Измерение расстояний в этой новой пространственно-временной геометрии приводит к искривленным формам.

Идеи Эйнштейна позволили определить гравитацию не как силу, которой считал ее Ньютон, а как искривление геометрии пространства-времени. Объекты, обладающие большой массой, изгибают ткань пространства. Можно представить себе, что гравитация – не сила, притягивающая объекты друг к другу, а нечто иное. Гравитация – это шорткаты, которыми объекты пользуются для перемещения в этой геометрии. Свободное падение объекта – это всего лишь кратчайший путь перемещения из одной точки в другую, который объект находит в этой геометрии.

Поэтому планеты, обращающиеся вокруг Солнца, следует считать не объектами, которые притягивает сила, подобная прикрепленной к ним веревке, а просто шарами, скатывающимися по поверхности в этой четырехмерной пространственно-временной геометрии. Эта идея казалась безумной, но Эйнштейн нашел средство проверить ее на практике. Свет, как и планеты, должен находить кратчайший путь через пространство. Если свету нужно пройти вблизи массивного объекта, согласно этой теории кратчайшим путем будет обходная траектория, искривляющаяся вокруг такого объекта.

Британский астроном Артур Эддингтон понял, что эту идею можно проверить, использовав солнечное затмение, которое должно было случиться на Земле в 1919 году. Теория предсказывала, что свет от удаленных звезд должен искривляться гравитационным воздействием Солнца. Затмение было нужно Эддингтону, чтобы исчезло сияние Солнца, не позволяющее увидеть звезды. Тот факт, что свет действительно кажется огибающим объекты с большой массой, подтвердил, что кратчайшие пути – это линии не прямые, а искривленные, как и предсказывала теория Эйнштейна.

Изгибание и искривление пространства также может создавать шорткаты через Вселенную, позволяющие обойти некоторые из препятствий, существование которых предполагает теория относительности Эйнштейна. Он выяснил, что во Вселенной существует предельная скорость – скорость света в вакууме. Ничто не может двигаться быстрее. Это создает трудности для желающих переместиться с одного края галактики на другой. Такое путешествие займет много времени. Это крупная проблема, с которой сталкиваются многие писатели-фантасты: как доставить персонажей из одного места в другое, не тратя на путешествие долгие годы? Решением часто бывает использование кротовой норы, специального решения уравнений поля теории Эйнштейна, которое предполагает теоретическую возможность существования шорткатов между разными областями пространственно-временной геометрии. Кротовая нора несколько похожа на туннель, пробитый сквозь гору, но соединяет две точки в разных концах Вселенной, обычное путешествие между которыми заняло бы миллионы лет.

Рис. 4.7. Из точки А в точку B можно попасть длинным путем через всю Вселенную или коротким путем через кротовую нору