Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Такие шорткаты, созданные общественностью, называют протоптанными или народными тропами. Кое-кто зовет их коровьими тропами или слоновьими путями[58], потому что они часто образуются при перегоне скота. Создатель «Питера Пэна» Дж. М. Барри утверждал, что такие тропы образуются сами по себе, потому что никогда невозможно увидеть, как кто-нибудь их прокладывает. Никто не принимает сознательного решения примять траву, чтобы расчистить путь. Они, как считал Барри, возникают постепенно, как бы создавая сами себя.

Некоторые из таких народных троп бывают довольно любопытными, поскольку они, как кажется, делают путь длиннее, чем следовало бы. Они совершенно не похожи на шорткаты. Но если приглядеться, можно понять, что такие тропы огибают какие-нибудь препятствия. Часто бывает неясно, о каком именно препятствии идет речь. Но при более глубоком изучении местной культуры с большой вероятностью оказывается, что дело в каком-нибудь предрассудке. Например, многие стараются не проходить под приставными лестницами, считая, что это приносит неудачу. Такие люди предпочтут обойти вокруг лестницы. Приставные лестницы редко остаются на одном месте настолько долго, чтобы вокруг них возникали постоянные народные тропы, но в России существует аналогичный предрассудок в отношении парных столбов, опирающихся друг на друга. Старые уличные фонари в России часто бывают установлены именно на таких столбах, и нередко можно увидеть постоянные народные тропы, проложенные так, чтобы не проходить между столбами.

Некоторые градостроители поняли, что такие тропы можно использовать в качестве шортката. Планировщики, которым приходит в голову эта светлая мысль, не проектируют заранее асфальтированные дорожки, по которым, как оказывается впоследствии, никто не ходит, а дают местным жителям протоптать тропинки, по которым удобнее всего добираться туда, куда они ходят, и лишь затем асфальтируют дорожки, возникшие таким естественным образом.

Дорожки к новым зданиям Университета штата Мичиган, возведенным в 2011 году, проложили по следам ходивших в эти здания студентов. На снимке с воздуха эти дорожки выглядят как безумно запутанный клубок вермишели с множеством переплетающихся нитей. Заранее такое не спроектировал бы ни один планировщик. Но благодаря тому, что планировщики прислушались к словам – или присмотрелись к следам – студентов, получилась сеть дорожек, удобная для всех студентов, старающихся не опоздать на лекции в разных концах кампуса.

Подобную же стратегию применил в проекте кампуса Иллинойского технологического института в Чикаго архитектор Рем Колхас.

Еще для понимания того, как пешеходы и водители осваивают город, бывает полезен выпавший снег. После того как горожане притопчут бо́льшую часть снега, оставшиеся сугробы покажут городским властям, какие части дорог и парков не задействованы для перемещений по городу. Это даст градостроителям возможность придать этим участкам новые функции – например, соорудить на дороге островок безопасности или поставить в парке произведение городской скульптуры.

Такого рода шорткаты снова и снова встречаются в области коммерции: общественности дают возможность наработать материал, из которого затем можно извлечь некую выгоду. Сбор и использование наших цифровых данных компаниями вроде Facebook, Amazon и Google – это в некотором роде пример того, как такие компании отслеживают народные тропы, которые мы протаптываем, а затем используют эти популярные шорткаты в собственных интересах.

Например, идея хештега не была внедрена в Twitter волевым решением. В компании заметили, что пользователи применяют этот значок для классификации своих сообщений. По-видимому, создателем хештега был пользователь Крис Мессина, первым предложивший его в августе 2007 года. Ему хотелось, чтобы был шорткат, позволяющий находить других пользователей, которых интересуют те темы, о которых он пишет. Хештег оказался удобным способом «подслушивать» интересные обмены сообщениями. Когда оказалось, что вслед за Мессиной по этой тропе ходит все больше и больше людей, компания Twitter по достоинству оценила этот шорткат, проложенный пользователями, и в 2009 году он стал официальным элементом Twitter – так сказать, заасфальтированной дорожкой.

Если вы развернете карту мира, чтобы начертить на ней кратчайший, по вашему мнению, маршрут перелета между Мадагаскаром и Лас-Вегасом, вашим первым побуждением, возможно, будет провести прямую линию, соединяющую эти две точки на карте. Именно такой, казалось бы, должна быть народная тропа, вдоль которой летают самолеты (или птицы). Но этот маршрут не учитывает кривизны Земли. Настоящая народная тропа, самый короткий маршрут, проложенный по поверхности сферы, проходит над Великобританией и Гренландией, вдалеке от исходной прямой, проведенной на плоской карте.

Рис. 4.4. Самый быстрый маршрут от Мадагаскара до Лас-Вегаса проходит через Великобританию

Кратчайший путь между двумя точками на поверхности сферы – так называемая геодезическая (или геодезическая линия) – проходит вдоль так называемого большого круга. Большой круг подобен меридиану, проходящему через два полюса. Собственно говоря, если взять меридиан и сдвинуть его так, чтобы он проходил через две точки, которые вы пытаетесь соединить, это и будет проходящий через них большой круг.

Если начать изучать следствия из особенностей таких шорткатов по поверхности глобуса, обнаруживаются некоторые весьма любопытные обстоятельства. Возьмем, например, три точки – Северный полюс, город Кито в Эквадоре и город Найроби в Кении. Последние два города расположены довольно близко к экватору. Кратчайшие пути между этими тремя точками образуют на поверхности Земли треугольник. В классической евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180 градусам. Но если рассмотреть сумму углов этого треугольника, окажется, что она гораздо больше 180 градусов. Действительно, каждый из углов с вершинами в Кито и Найроби составляет почти 90 градусов, потому что меридианы, идущие от полюса, пересекают экватор под углом 90 градусов. Угол с вершиной на Северном полюсе образован меридианами, проходящими через эти города, и составляет 115 градусов. Следовательно, сумма углов получившегося треугольника равна 90 + 90 + 115 = 295 градусов.

Существуют и геометрии, в которых суммы углов треугольников меньше 180 градусов. Например, на поверхности геометрического тела, которое называют псевдосферой, похожем на конус с искривленными боками, кратчайшие пути между точками тоже образуют необычные треугольники, суммы углов которых меньше 180 градусов. Это тело обладает так называемой отрицательной кривизной, а сферы, подобные земному шару, – кривизной положительной. В плоской геометрии, действующей, в частности, на карте, с которой я начал этот разговор, кривизна равна нулю.