Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №9 - Журнал «Домашняя лаборатория»

инструмент, который следует использовать с осторожностью и обоснованно.

В заключение этой темы посмотрим, как проводилось тестирование работы с перегруженными методами:

/// <summary>

/// Тестирование перегруженных методов А()

/// </summary>

public void TestLoadMethods()

{

     long u=0; double v =0;

     A(out u, 7); A(out v, 7.5);

     Console.WriteLine ("u= {0}, v= {1}", u,v);

     A(out v,7);

     Console.WriteLine("v= {0}",v);

     A(out u, 7,11,13);

     A(out v, 7.5, Math.Sin(11.5)+Math.Cos(13.5), 15.5);

     Console.WriteLine ("u= {0}, v= {1}", u,v);

}//TestLoadMethods

На рис. 9.3 показаны результаты этого тестирования.

Рис. 9.3. Тестирование перегрузки методов

10. Корректность методов

Корректность метода. Спецификации. Триады Хоара. Предусловие метода. Постусловие метода. Корректность метода по отношению к предусловию и постусловию. Частичная корректность. Завершаемость. Полная корректность. Инвариант цикла. Вариант цикла. Подходящий инвариант. Корректность циклов. Рекурсия. Прямая и косвенная рекурсия. Стратегия "разделяй и властвуй". Сложность рекурсивных алгоритмов. Задача "Ханойские башни". Быстрая сортировка Хоара.

Корректность методов

Написать метод, задающий ту или иную функциональность, нетрудно. Это может сделать каждый. Значительно сложнее написать метод, корректно решающий поставленную задачу. Корректность метода — это не внутреннее понятие, подлежащее определению в терминах самого метода. Корректность определяется по отношению к внешним спецификациям метода. Если нет спецификаций, то говорить о корректности "некорректно".

Спецификации можно задавать по-разному. Мы определим их здесь через понятия предусловий и постусловий метода, используя символику триад Хоара, введенных Чарльзом Энтони Хоаром — выдающимся программистом и ученым, одну из знаменитых программ которого приведем чуть позже в этой лекции.

Пусть P(x,z) — программа P с входными аргументами х и выходными z. Пусть Q(y) — некоторое логическое условие (предикат) над переменными программы у. Язык для записи предикатов Q(y) формализовать не будем. Отметим только, что он может быть шире языка, на котором записываются условия в программах, и включать, например, кванторы. Предусловием программы P(x,z) будем называть предикат Рrе(х), заданный на входах программы. Постусловием программы P(x,z) будем называть предикат Post(x,z), связывающий входы и выходы программы. Для простоты будем полагать, что программа P не изменяет своих входов х в процессе своей работы. Теперь несколько определений:

Определение 1 (частичной корректности): Программа P(x,z) корректна (частично, или условно) по отношению к предусловию Рrе(х) и постусловию Post(x,z), если из истинности предиката Рrе(х) следует, что для программы p(x,z)7 запущенной на входе х, гарантируется выполнение предиката Post(x,z) при условии завершения программы.

Условие частичной корректности записывается в виде триады Хоара, связывающей программу с ее предусловием и постусловием:

[Pre(x)] P(x,z) [Post(х, z)]

Определение 2 (полной корректности): Программа P(x,z) корректна (полностью, или тотально) по отношению к предусловию Рrе(х) и постусловию Post(x,z), если из истинности предиката Рrе(х) следует, что для программы P(x,z), запущенной на входе х, гарантируется ее завершение и выполнение предиката Post(x,z).

Условие полной корректности записывается в виде триады Хоара, связывающей программу с ее предусловием и постусловием:

{Pre(x) } Р (х, z) {Post(x,z) }

Доказательство полной корректности обычно состоит из двух независимых этапов — доказательства частичной корректности и доказательства завершаемости программы. Заметьте, полностью корректная программа, которая запущена на входе, не удовлетворяющем ее предусловию, вправе зацикливаться, а также возвращать любой результат. Любая программа корректна по отношению к предусловию, заданному тождественно ложным предикатом False. Любая завершающаяся программа корректна по отношению к постусловию, заданному тождественно истинным предикатом True.

Корректная программа говорит своим клиентам: если вы хотите вызвать меня и ждете гарантии выполнения постусловия после моего завершения, то будьте добры гарантировать выполнение предусловия на входе. Задание предусловий и постусловий методов — это такая же важная часть работы программиста, как и написание самого метода. На языке C# пред- и постусловия обычно задаются в теге <summary>, предшествующем методу, и являются частью XML-отчета. К сожалению, технология работы в Visual Studio не предусматривает возможности автоматической проверки предусловия перед вызовом метода и проверки постусловия после его завершения с выбрасыванием исключений в случае их невыполнения. Программисты, для которых требование корректности является важнейшим условием качества их работы, сами встраивают такую проверку в свои программы. Как правило, подобная проверка обязательна на этапе отладки и может быть отключена в готовой системе, в корректности которой программист уже уверен. А вот проверку предусловий важно оставлять и в готовой системе, поскольку истинность предусловий должен гарантировать не разработчик метода, а клиент, вызывающий метод. Клиентам же свойственно ошибаться и вызывать метод в неподходящих условиях.

Формальное доказательство корректности метода — задача ничуть не проще, чем написание корректной программы. Но вот парадокс. Чем сложнее метод, его алгоритм, а следовательно, и само доказательство, тем важнее использовать понятия предусловий и постусловий, понятия инвариантов циклов в процессе разработки метода. Рассмотрение этих понятий параллельно с разработкой метода может существенно облегчить построение корректного метода. Этот подход будет продемонстрирован в нашей лекции при рассмотрении метода Quicksort — быстрой сортировки массива.

Инварианты и варианты цикла

Циклы, как правило, являются наиболее сложной частью метода — большинство ошибок связано именно с ними. При написании корректно работающих циклов крайне важно понимать и использовать понятия инварианта и варианта цикла. Без этих понятий не обходится и формальное доказательство корректности циклов. Ограничимся рассмотрением цикла в следующей форме:

Init(x,z); while(В)S(х, z);

Здесь B — условие цикла while, S — его тело, a Init — группа предшествующих операторов, задающая инициализацию цикла. Реально ни один цикл не обходится без инициализирующей части.

Синтаксически было бы правильно, чтобы Init являлся бы формальной частью оператора цикла. В операторе for это частично сделано — инициализация счетчиков является частью цикла.

Определение 3 (инварианта цикла): предикат inv(x, z) называется инвариантом цикла while, если истинна следующая триада Хоара:

{Inv(x, z) & B} S(x,z){Inv(x,z)}

Содержательно это означает, что из истинности инварианта цикла до начала выполнения тела цикла и из истинности условия цикла, гарантирующего выполнение тела, следует истинность инварианта после выполнения тела цикла. Сколько бы раз ни выполнялось тело цикла, его инвариант остается истинным.

Для любого цикла можно написать сколь угодно много инвариантов. Любое тождественное условие (2*2 =4) является инвариантом любого цикла. Поэтому среди инвариантов выделяются так называемые подходящие инварианты цикла. Они называются подходящими, поскольку позволяют доказать корректность цикла по отношению к его пред- и постусловиям. Как доказать корректность цикла? Рассмотрим соответствующую триаду:

{Рге(х)} Init(x,z); while(В)S(х, z);{Post(х, z)}

Доказательство разбивается на три этапа. Вначале доказываем истинность триады:

(*)