Вселенная. Курс выживания среди черных дыр, временных парадоксов, квантовой неопределенности - Джефф Бломквист

Теперь сосредоточимся на электроне, замкнутом в ящике, который описывается прямоугольной потенциальной ямой. Поскольку он не может вырваться из ящика, квантовые волны должны упасть до нуля у его стенок. Три возможные квантовые волны с наибольшими длинами будут полностью аналогичны волнам, созданным гитарной струной и показанным на рис. 6.2: самая длинная волна будет иметь двойной размер по сравнению с ящиком, то есть 2L; следующая по длине волна будет равна размеру ящика – L; а следующая – 2L / 3. В общем случае мы можем описать электронные волны формулой 2L / n, где n = 1, 2, 3, 4 и т. д.

Таким образом, для нашего прямоугольного ящика электронные волны будут иметь точно такую же форму, что и волны на гитарной струне: это будут волны-синусоиды с четко определенным набором разрешенных длин. Теперь можно двинуться вперед, призвав на помощь уравнение де Бройля из предыдущей главы и связав длину этих волн-синусоид с импульсом электрона: p = h / λ. В этом случае стоячие волны описывают электрон, которому разрешено иметь лишь определенные импульсы, заданные формулой p = nh / (2L), где все, что нам остается, – подставить разрешенные длины волны в уравнение де Бройля.

Получается, что импульс нашего электрона в прямоугольной яме квантуется. Это уже большое достижение. Однако надо быть осторожными: потенциал на рис. 6.3 – специфический случай, для других потенциалов стоячие волны обычно не синусоидальные. На рис. 6.5 показана фотография стоячих волн, созданных барабаном. Кожа барабана усыпана песком, который собирается в узлах стоячей волны. Так как кайма вибрирующего барабана круглая, а не прямоугольная, стоячие волны уже не будут синусоидами[24]. Это значит, что в более реалистичной ситуации, когда электрон пойман протоном, стоячие волны тоже не будут синусоидами. В свою очередь, это подразумевает, что связь между длиной волны и импульсом утеряна. И как в этом случае интерпретировать стоячие волны? Что если у пойманных частиц квантуется не импульс?

Рис. 6.5. Вибрирующий барабан покрыт песком. Песок собирается в узлах стоячих волн

Мы можем найти ответ, если заметим, что в прямоугольной потенциальной яме квантуется не только импульс электрона, но и его энергия. Это простое наблюдение, кажется, не содержит никакой новой важной информации, поскольку энергия и импульс прямо связаны друг с другом, а именно энергия E = p² / 2m, где p – импульс удерживаемого электрона, а m – его масса[25]. Но это наблюдение не такое уж бесполезное, как можно подумать, потому что для потенциалов не столь простых, как прямоугольная яма, каждая стоячая волна всегда соотносится с частицей определенной энергии.

Важное различие между энергией и импульсом появляется потому, что уравнение E = p² / 2m верно, только если потенциал одинаков по всей области вероятного пребывания частицы и позволяет ей двигаться свободно, как по мраморной столешнице или, что больше относится к делу, как электрону в прямоугольной яме. В общем случае энергия частицы не будет сводиться к E = p² / 2m; это будет сумма кинетической и потенциальной энергий частицы. Так разрушается прямая связь между энергией частицы и ее импульсом.

Можно еще раз проиллюстрировать это положение с помощью мяча в долине с рис. 6.4. Начнем с мяча, который счастливо покоится на дне. С ним ничего не происходит[26]. Чтобы заставить мяч катиться вверх по склону, его нужно ударить, то есть добавить ему энергии. В мгновение, следующее за ударом, вся его энергия будет кинетической. По мере подъема мяча по склону он будет замедляться, пока на какой-то высоте не остановится, после чего будет снова падать. В момент остановки он не будет обладать кинетической энергией, но ведь энергия не исчезла по волшебству. На самом деле вся кинетическая энергия превратилась в потенциальную, которая равняется mgh, где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли, а h – высота мяча над земной поверхностью. Когда мяч начинает падать, эта накопленная потенциальная энергия при наборе скорости постепенно снова превращается в кинетическую. Итак, пока мяч перелетает с одного конца долины в другой, общая энергия остается постоянной, но периодически перетекает из кинетической в потенциальную. Разумеется, импульс мяча постоянно меняется, но суммарная энергия остается неизменной (предположим, что трения, замедляющего скорость мяча, не существует. Если бы мы включили его в нашу картину, общая энергия тоже осталась бы неизменной, но нужно было бы добавить в качестве ее составляющей энергию, идущую на трение).

Сейчас мы попытаемся исследовать связь между стоячими волнами и частицами определенной энергии иным способом, не обращаясь к особому случаю прямоугольной ямы. Воспользуемся на сей раз маленькими квантовыми циферблатами.

В первую очередь заметьте: если электрон в какой-то момент времени описывается стоячей волной, то он будет описываться той же стоячей волной и в любой следующий момент. Под «той же» мы подразумеваем неизменность формы волны, как в случае со стоячей водяной волной на рис. 6.1. Мы, конечно, не имеем в виду, что волна вообще не меняется: изменяется ее высота, но не положение пиков и узлов.

Это позволяет нам установить, как должно выглядеть описание стоячей волны в терминах квантовых циферблатов, и оно показано на рис. 6.6 для случая стоячей волны основного тона. Размеры циферблатов вдоль волны отражают положение пиков и узлов, а все стрелки часов движутся с одинаковой скоростью. Надеемся, вы понимаете, почему мы изобразили именно такую группу циферблатов. Узлы должны всегда быть узлами, а пики – пиками, и они все должны оставаться на одном месте. Это значит, что циферблаты вблизи узлов должны всегда быть очень маленькими, а циферблаты, соответствующие пикам, должны всегда иметь самые длинные стрелки. Таким образом, единственное, что мы вольны делать, – так это поместить циферблаты по своему усмотрению и заставить их стрелки вращаться синхронно. Если следовать методологии предыдущих глав, мы должны были бы начать с конфигурации циферблатов, показанной в верхнем ряду рис. 6.6, и использовать правила уменьшения и поворота стрелок, чтобы получить три нижних ряда позже. Это упражнение со скачущими циферблатами – слишком сильный скачок прочь от темы книги, но его можно выполнить, и тут есть неплохой поворот[27], поскольку, чтобы выполнить упражнение правильно, нужно учесть тот факт, что частица «отскакивает от стенок ящика», прежде чем двинуться в своем направлении. Кстати, поскольку циферблаты в центре больше, мы можем непосредственно заключить, что электрон, который описывается этим набором циферблатов, скорее окажется в центре ящика, чем по краям.