Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №8 - Журнал «Домашняя лаборатория»

множество программ САПР, способных генерировать функцию передачи фильтра, заданную с помощью преобразования Лапласа.

ОБЗОР ПОПУЛЯРНЫХ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ

• Баттерворта

♦ Нет нулей частотной характеристики, нет пульсаций в полосе пропускания и задержки

♦ Максимально плоская характеристика (быстрый спад без пульсаций)

• Чебышева 1-го рода

♦ Нет нулей частотной характеристики, пульсации в полосе пропускания, нет пульсаций в полосе задержки

♦ Более короткая область перехода, чем у фильтра Баттерворта для данного порядка

♦ Фильтр 2-го рода имеет пульсации в полосе задержки, нет пульсаций в полосе пропускания

• Эллиптический (Кауэра)

♦ Имеет полюса и нули, пульсации и в полосе пропускания, и в полосе задержки

♦ Более короткая область перехода, чем у фильтра Чебышева для данного порядка

♦ Фазовая характеристика хуже

• Бесселя (Томпсона)

♦ Нет нулей частотной характеристики, нет пульсаций в полосе пропускания и задержки

♦ Оптимизирован по линейной фазовой и импульсной характеристикам

♦ Самая длинная переходная характеристика из всех фильтров данного порядка

Рис. 6.35

Фильтр Баттерворта, не имеющий нулей частотной характеристики, (также называемый фильтром с максимально плоской характеристикой), не создает пульсаций (неравномерности) в полосе пропускания и в полосе задержки, то есть обладает монотонной характеристикой в обеих полосах. Фильтр Чебышева 1-го рода имеет более быстрый спад частотной характеристики, чем фильтр Баттерворта (при равном порядке), и создает пульсации (неравномерность) в полосе пропускания. Реже используются фильтры Чебышева 2-го рода, имеющие пульсации (неравномерность) в полосе задержки, а не в полосе пропускания.

Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) имеет полюса и нули частотной характеристики и создает пульсации (неравномерность) и в полосе пропускания, и в полосе задержки. Этот фильтр имеет более быстрый спад частотной характеристики, чем фильтр Чебышева при том же числе полюсов (порядке). Эллиптический фильтр часто используется там, где допускается несколько худшая фазовая характеристика.

Наконец, фильтр Бесселя (Томпсона), который не имеет нулей частотной характеристики, обладает оптимальной импульсной характеристикой и линейной фазовой характеристикой, но имеет худший спад частотной характеристики из всех типов обсуждавшихся фильтров при том же числе полюсов (порядке).

Все вышеперечисленные типы аналоговых фильтров описаны в литературе, их преобразования по Лапласу H(s) доступны либо из таблиц, либо могут быть получены с помощью средств САПР. Существует три метода преобразования изображения по Лапласу в z-изображение: метод инвариантности импульсной характеристики, билинейное преобразование и согласованное z-преобразование. Результирующее z-изображение может быть преобразовано в коэффициенты биквадратного БИХ-фильтра. Эти методы достаточно распространены в математике и в дальнейшем не будут обсуждаться.

Подход САПР при проектировании БИХ-фильтра подобен программе Паркса-Макклиллана, используемой для КИХ-фильтров. Эта методика использует алгоритм Флетчера-Пауэла (Fletcher-Powell).

При вычислении производительности специального процессора DSP, предназначенного для реализации БИХ-фильтров, необходимо исследовать эталонные требования эффективности вычислений для биквадратного звена фильтра. Для получения выходного отсчета биквадратного фильтра при его реализации на базе семейства процессоров ADSP-21ХХ требуется семь командных циклов. Для DSP-процессора ADSP-2189M, обладающего быстродействием 75 MIPS, это соответствует 7*13,3 нс = 93 нс, что дает максимально возможную частоту дискретизации 10 MSPS (в пренебрежении дополнительными операциями).

МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ БИХ-ФИЛЬТРОВ

• Метод инвариантности импульсной характеристики

♦ Начинается с определения H(s) для аналогового фильтра

♦ Взятие обратного преобразования Лапласа для получения импульсной характеристики

♦ Получение z-преобразования H(z) из дискретной импульсной характеристики

♦ z-преобразование выдает коэффициенты фильтра

♦ Должен быть учтен эффект наложения спектров

• Метод билинейного преобразования

♦ Другой метод для преобразования H(s) в H(z)

♦ Характеристики определяются дифференциальным уравнением, описывающим аналоговую систему

♦ Не важен эффект наложения спектра

• Метод согласованного z-преобразования

♦ Отображает H(s) в H(z) для фильтров и с полюсами, и с нулями

Методы САПР

♦ Алгоритм Флетчера-Пауэла

♦ Осуществляются каскадированием биквадратных звеньев

Рис. 6.36

СКОРОСТЬ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ БИХ-ФИЛЬТРОВ

• Определение количества биквадратных звеньев, требуемых для реализации желаемой частотной характеристики

• Умножение этого количества на время выполнения одного биквадратного звена для DSP процессора (например, 7 командных циклов х 13,3 нс = 93 нс для ADSP-2189M при скорости 75 MIPS)

• Результат (плюс дополнительные операции) является минимально допустимым периодом дискретизации (1/fs) для работы в реальном масштабе времени

Рис. 6.37

Резюме: сравнение КИХ- и БИХ-фильтров

Выбор между КИХ-и БИХ-фильтрами может быть своего рода состязанием в проектировании, но несколько основных руководящих принципов дать можно. Как правило, БИХ-фильтры более эффективны, чем КИХ-фильтры, потому что они требуют меньшего количества памяти и меньшего количества операций умножения с накоплением. БИХ-фильтры могут быть разработаны, основываясь на предыдущем опыте проектирования аналоговых фильтров. БИХ-фильтры могут приносить проблемы неустойчивости, но это происходит реже, если проектируемые фильтры высокого порядка реализуются как системы, состоящие из каскадов второго порядка.

С другой стороны, КИХ-фнльтры требуют большего количества звеньев и, соответственно, операций умножения с накоплением для реализации частотной характеристики с заданной частотой среза, но при этом имеют линейную фазовую характеристику. КИХ-фильтры работают на конечном временном интервале данных, поэтому, если часть данных испорчена (например, в результате сбоев в работе АЦП), КИХ-фильтр будет «звенеть» только на временном интервале, соответствующем N-1 отсчетам. БИХ-фильтр, из-за наличия обратной связи, будет «звенеть» значительно более длительный период времени.

СРАВНЕНИЕ КИХ И БИХ ФИЛЬТРОВ

БИХ-фильтры ∙ КИХ-фильтры

Более эффективны ∙ Менее эффективны

Есть аналоговый эквивалент ∙ Нет аналогового эквивалента

Могут быть нестабильными ∙ Всегда стабильные

Нелинейная фазовая характеристика ∙ Линейная фазовая характеристика

Больше «звон» при наличии ложных сигналов ∙ Меньше «звон» при наличии ложных сигналов

Доступны средства САПР ∙ Доступны средства САПР

Децимация не влияет на эффективность ∙ Децимация увеличивает эффективность

Рис. 6.38

Если необходимы фильтры с крутым спадом и испытывается дефицит во времени, отведенном для обработки, хорошим выбором являются эллиптические БИХ-фильтры. Если число операций умножения с накоплением не является чрезмерным и требуется линейная фаза, то должен быть выбран КИХ-фильтр.

Фильтры с изменяемой частотой дискретизации

Существует множество приложений, требующих изменения эффективной частоты дискретизации дискретной системы. Во многих случаях это требование может быть удовлетворено простым изменением частоты дискретизации АЦП или ЦАП. Однако часто желательно выполнить преобразование частоты дискретизации после того, как сигнал был оцифрован. Наиболее общими методами такого преобразования являются децимация (уменьшение частоты дискретизации с коэффициентом М) и интерполяция (увеличение частоты дискретизации с коэффициентом L). Коэффициенты децимации и интерполяции (М и L) обычно являются целыми числами. В более общем случае может потребоваться дискретизация