Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Позвольте показать вам маленький фокус: задумайте число. Удвойте его. Прибавьте 14. Разделите результат на 2. Вычтите число, которое вы задумали с самого начала. Я гарантирую, что теперь у вас получилось число 7. Мы использовали этот фокус в начале пьесы «Исчезающее число», авторов которой я консультировал. Пьеса рассказывала о сотрудничестве индийского математика Сринивасы Рамануджана с кембриджским математиком Г. Г. Харди. Меня всегда поражало, в какое изумление этот фокус каждый вечер приводил публику – как будто мы волшебным образом читали мысли зрителей. На самом деле тут, разумеется, работает не волшебство, а математика. Ключ к пониманию того, каким именно математическим трюком вас обманули, заключается в идее алгебры.

Алгебра – это грамматика, лежащая в основе поведения чисел. Она чем-то похожа на программный код: алгебра работает независимо от того, какие числа вы вводите в программу.

Алгебру разработал руководитель багдадского Дома мудрости Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Дом мудрости, основанный в 810 году, был главным интеллектуальным центром своего времени и привлекал со всего мира ученых, изучавших астрономию, медицину, химию, зоологию, географию, алхимию, астрологию и математику. Исламские ученые собрали и перевели множество античных текстов, чем, по сути дела, сохранили их для потомства. Без них мы, возможно, ничего не знали бы о древних культурах Греции, Египта, Вавилона и Индии. Однако ученые, работавшие в Доме мудрости, не удовольствовались одними лишь переводами математических трудов, написанных другими. Они хотели создавать свою собственную математику. Именно это стремление к новым знаниям и привело к созданию языка алгебры.

Вы, вероятно, можете находить алгебраические паттерны и самостоятельно, даже не осознавая, что занимаетесь алгеброй. В детстве, запоминая таблицу умножения, я начал замечать некоторые любопытные паттерны, скрывающиеся за этими расчетами. Например, спросите себя, сколько будет 5 × 5. А потом посмотрите на 6 × 4. Есть ли между этими ответами какая-нибудь связь? Теперь возьмите 6 × 6 и 5 × 7. А потом 7 × 7 и 6 × 8. Надеюсь, вы уже заметили, что второй ответ каждый раз меньше первого на единицу.

Выявление таких паттернов помогало мне превращать скучное заучивание таблицы умножения в нечто чуть более интересное. Эти паттерны открыли мне шорткат в обход зубрежки, часто требуемой в школе. Но действует ли этот паттерн всегда? Если я возведу в квадрат произвольное число, будет ли результат всегда на единицу больше произведения чисел, стоящих по обе стороны от исходного?

Я попытался описать этот паттерн словами, но в IX веке в Ираке был создан новый математический язык – язык алгебры, – позволяющий выразить ее более ясно. Пусть х – произвольное число. Тогда результат возведения х в квадрат будет на 1 больше, чем произведение (х – 1) на (х + 1). Или, если написать алгебраическую формулу,

Такой алгебраический язык также позволил математикам показать, почему этот паттерн остается справедливым, какое бы число вы ни выбрали. Если раскрыть скобки в выражении (х – 1)(х + 1), получится х2 – х + х – 1 = х2 – 1. Прибавим к этому 1 и получим просто х2.

Этот же подход – использование x вместо произвольного числа – позволяет понять и тот простой фокус, в котором вы получили число 7. Нужно всего лишь перевести операции на язык алгебры.

Суть в том, что это работает всегда, какое бы число вы ни задумали, – даже если вы решили схитрить и задумали мнимое число! Вот еще один фокус, которому научил меня мой друг, математический фокусник Артур Бенджамин. Ключ к пониманию механизма этого фокуса дает алгебра. Бросьте две игральные кости. Перемножьте два выпавших числа. Перемножьте числа, оказавшиеся на нижних гранях костей. Затем умножьте верхнее число первой кости на нижнее число второй. А потом нижнее число первой кости на верхнее число второй. Наконец, сложите все четыре полученных числа. Результат всегда будет равен 49. Бенджамин использует здесь то удобное обстоятельство, что числа на противоположных гранях игральной кости всегда дают в сумме 7. В сочетании с небольшими алгебраическими выкладками из этого следует, что ответ всегда равен 49, то есть 7 в квадрате.

Но алгебра пригодилась не только для фокусов. Она положила начало огромной волне новых открытий. Теперь в распоряжении математиков были не только слова, но и понимание грамматики, позволявшей им соединять эти слова. Алгебра дала нам язык, пригодный для описания устройства Вселенной.

Вот что говорил о могуществе алгебры Лейбниц: «Этот метод избавляет от труда разум и воображение, которые мы прежде всего должны экономить. Он позволяет нам рассуждать ценой небольших усилий, используя буквы вместо сущностей для облегчения бремени, которое ложится на воображение».

Одним из первых осознал значение этого языка для расшифровки тайн природы итальянский ученый XVI века Галилео Галилей. Именно ему принадлежит следующее знаменитое изречение: «Философия написана в той величественной Книге (я имею в виду Вселенную), которая всегда открыта нашему взору, но читать ее может лишь тот, кто сначала освоит язык и научится понимать знаки, которыми она начертана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых нельзя понять ни единого из стоящих в ней слов и остается лишь блуждать в темном лабиринте»[40].

Одной из историй Вселенной, которую он хотел прочитать, было понимание того, как предметы падают на землю. Есть ли какое-нибудь правило, определяющее падение той или иной вещи на землю или продолжение ее полета в воздухе? Сбор данных о предметах, падающих с высокого здания, был делом сложным, так как предметы обычно падают слишком быстро. Галилей придумал удобный способ замедлить этот эксперимент, чтобы успеть собрать нужные данные. Можно было не бросать предметы, а изучать, как шар скатывается по наклонной плоскости. Этот процесс был достаточно медленным и позволял ему отмечать положение катящегося шара каждую секунду.

Наклонная плоскость должна была быть достаточно гладкой, чтобы трение не замедляло движения шара. Галилей хотел получить максимальное приближение к условиям падения того же шара. Когда он изготовил такую гладкую поверхность и начал записывать расстояния, на которые шар перемещался за каждую секунду, он обнаружил очень простой паттерн. Если за первую секунду шар сместился на 1 единицу расстояния, за следующую он проходил уже 3 единицы. За секунду после этого – 5 единиц. С каждой следующей секундой шар набирал все большую скорость и перемещался на все большее расстояние, но длины участков, которые он проходил, попросту соответствовали последовательности нечетных чисел.