Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Тот факт, что радиоволны отражаются от металлических объектов, открыл немецкий физик Генрих Герц. Он сделал это открытие в ходе своих опытов, которые проводил в 1877 году, чтобы доказать существование электромагнитных волн. Его имя увековечено в названии единицы измерения частоты вибрации волн.

Но практические возможности, которые давало это открытие, осознал один из соотечественников Герца. Кристиан Хюльсмайер получил в Германии и Британии патенты на электромагнитное устройство[33], которое, по его мнению, могло помочь кораблю обнаруживать наличие других судов в условиях плохой видимости – например, в тумане. Утверждается, что стремление создать такой прибор возникло у него после того, как он увидел мать, скорбевшую о смерти сына, который погиб при столкновении двух морских судов.

Он продемонстрировал свое изобретение в опыте, поставленном на мосту через Рейн 18 мая 1904 года. Прибор обнаруживал присутствие корабля, спускавшегося по реке, как только тот оказывался в радиусе трех километров. Однако это изобретение опередило свое время, в частности потому, что оно не производило математических вычислений, позволяющих определить, на каком расстоянии находится другое судно и в каком направлении оно движется. В течение еще нескольких лет эта идея интересовала только писателей-фантастов вроде Жюля Верна. Для ее практического воплощения потребовались десятилетия и мировая война.

Вопрос о том, кто именно изобрел радар, название которого получилось из сокращения английских слов radio detection and ranging (радиообнаружение и измерение дальности), остается нерешенным. Разработка таких систем в разных странах в преддверии войны велась в условиях строжайшей тайны, потому что любая страна, успешно внедрившая эту идею, получила бы преимущество в области обнаружения вражеских самолетов. Однако не вызывает сомнений, что одним из первопроходцев этой технологии был шотландский физик Роберт Уотсон-Уотт. Его попросили прокомментировать слухи о «лучах смерти», якобы созданных в Германии на основе радиоволн. Он быстро показал абсурдность этой идеи, но она побудила его заняться исследованием реальных возможностей радиоволновых технологий. Он продемонстрировал, что совместное использование расчетов и радиосигналов позволяет отслеживать перемещение приближающихся самолетов, и это привело к созданию системы радиолокационных станций для обнаружения самолетов, подлетающих к Лондону со стороны Северного моря. Принято считать, что именно радарная сеть Уотсона-Уотта дала Королевским ВВС решающее преимущество в Битве за Британию.

При отслеживании подлетающего самолета, будь то на войне или в мирное время, важна скорость. Шорткат к вычислению местоположения самолета по отражающимся от него радиоволнам может иметь жизненно важное значение. Основные вычисления, необходимые для решения этой задачи, относятся к области тригонометрии (об этом шорткате я расскажу в главе 4). Форму передаваемых и регистрируемых после отражения волновых импульсов описывают при помощи тригонометрических функций – синусов и косинусов. Необходимые для этого вычисления оказываются сложными и занимают чрезвычайно много времени. Но тут на помощь приходят мнимые числа.

Великий швейцарский математик XVIII века Леонард Эйлер обнаружил, что подстановка мнимых чисел в показательную функцию – простую функцию возведения числа в степень х, например, 2х – дает довольно любопытные результаты. Получается сочетание волновых функций, очень похожих на те волны, которые впоследствии стали использовать в радарах. Эта связь – ключ к уравнению, которое многие математики считают самым красивым в истории. Дело в том, что один из случаев этой связи между волнами и показательными функциями дает уравнение, связывающее пять важнейших чисел в истории математики – 0, 1, i (квадратный корень из –1), π = 3,14159… и е = 2,71828… (возможно, самое знаменитое число в математике, не считая π; мы поговорим о нем подробнее в главе 7):

Стоит возвести е в степень, равную произведению i и π, и прибавить к результату 1, как все члены этого выражения волшебным (или математическим) образом сокращаются, и в ответе получается 0. И это одно из любопытных проявлений той связи между показательными и волновыми функциями, которую создают мнимые числа.

Поэтому математики поняли, что можно не заниматься сложными вычислениями волновых функций, а упростить и ускорить расчеты, объединив все их элементы при помощи мнимых чисел. Благодаря использованию этих странных чисел вычисления свелись к расчетам показательных функций, которые можно было выполнить быстро и рационально. Даже сегодня авиадиспетчеры, в распоряжении которых имеется необычайная мощь современных компьютеров, используют для обнаружения самолетов и их сопровождения при посадке в аэропортах всего мира тот же самый шорткат через мнимые числа. Не будь его, самолеты падали бы на землю еще до завершения вычислений их местоположения.

Этот пример наглядно иллюстрирует утверждение Поля Пенлеве о том, что «самый легкий и короткий путь между двумя истинами вещественной области весьма часто пролегает через область мнимую».

Один из других шорткатов, которые участвуют в рационализации компьютерных вычислений, – это применение чрезвычайно экономичной системы записи чисел. Как мы уже видели, десять символов десятичной системы счисления – не единственный вариант представления чисел. Для выражения чисел можно выбрать степени любого числа, не только десяти, как в десятичной системе. Вавилоняне использовали символы для записи чисел от 0 до 59 и работали с системой счисления на основе 60. У майя были символы для чисел от 0 до 19, а в созданной ими системе счисления использовались степени двадцати. Выбор числа 10 в качестве основы для наших чисел сводится всего лишь к капризу анатомии, снабдившей нас десятью пальцами на руках.

Но с анатомией человека могла быть связана и вавилонская система. На каждом из наших пальцев (кроме большого) по три сустава. Поэтому большим пальцем правой руки можно указывать на ее же суставы, соответствующие числам от 1 до 12. Каждый раз, отсчитав 12 суставов, можно отмечать очередную дюжину на левой руке, а затем заново начинать отсчет до 12 на правой. Поскольку на левой руке 5 пальцев, так можно отсчитать до 5 наборов по 12 суставов, то есть дойти до 60!

Скажем, для обозначения числа 29 нужно поднять два пальца на левой руке и указать большим пальцем правой на пятый сустав (средний сустав среднего пальца).

Но компьютеры могут использовать всего один палец. По сути дела, они работают по принципу выключателя – либо включенного, либо выключенного. Им нужна система на основе всего двух символов – 0 для выключенного состояния и 1 для включенного. Но даже используя только эти два символа, компьютер может выразить любое число. Положения цифр в этой позиционной системе, так называемой двоичной системе счисления, означают не степени десяти, а степени двух. Так, число 11011 соответствует числу