Математика космоса. Как современная наука расшифровывает Вселенную - Йен Стюарт

В 1976 году Элестер Кэмерон и Уильям Уорд предположили, что с Землей столкнулась другая планета размером с Марс и часть вещества при этом выплеснулась одной гигантской каплей и образовала Луну. Разные ингредиенты вели бы себя по-разному под действием мощных сил и тепла, порожденных столкновением. Силикатные породы (на обоих телах) испарились бы, но железное ядро Земли и любое металлическое ядро, если бы врезавшееся тело им обладало, остались бы на месте. В результате железа в составе Луны оказалось бы много меньше, чем в составе Земли, а вот поверхностные породы Луны и мантия Земли, сконденсировавшиеся обратно из испарившихся силикатов, оказались бы очень похожи по составу.

В 1980-е годы Кэмерон провел с разными коллегами компьютерное моделирование последствий такого столкновения; моделирование показало, что лучше всего современным данным и наблюдениям соответствует столкновение Земли с телом размером с Марс — Тейей. Поначалу казалось, что Тейя могла просто выплеснуть в пространство часть земной мантии, внеся при этом очень небольшую часть собственного материала в породы, из которых образовалась Луна. Это объяснило бы близкое сходство двух типов пород. В самом деле, близость по составу поверхностных пород Луны и пород мантии Земли рассматривалась как сильный довод в пользу гипотезы ударного формирования Луны.

Астрономы в большинстве своем принимали эту идею до самого последнего времени. Тейя врезалась в первозданную Землю почти сразу (по космологическим меркам) после формирования Солнечной системы, между 4,50 и 4,45 миллиарда лет назад. Два мира столкнулись не лоб в лоб, а под углом приблизительно 45°. Столкновение было сравнительно медленным (опять же по космологическим меркам) и проходило на скорости около четырех километров в секунду. Расчеты показывают, что если бы у Тейи было железное ядро, то оно смешалось бы с основной массой Земли. Будучи тяжелее мантийных пород, все это должно было погрузиться в глубину и объединиться с ядром Земли; не забывайте, что все породы на этой стадии были расплавлены. Это объясняет, почему в составе Земли намного больше железа, чем в составе Луны. Примерно пятая часть мантии Тейи и большое количество земных силикатных пород было выброшено в пространство. Половина выброшенного оказалась в конце концов на околоземной орбите и собралась воедино, образовав Луну. Вторая половина вышла из-под действия тяготения Земли и оказалась на орбите вокруг Солнца. Большая часть этого вещества осталась на орбитах, близких к земной, поэтому со временем столкнулась либо с Землей, либо со свежесформированной Луной. Многие лунные кратеры возникли в результате именно этих вторичных столкновений. Однако на Земле эрозия и другие процессы стерли следы большинства подобных кратеров.

Столкновение с Тейей добавило Земле массы и значительно увеличило ее момент импульса: настолько, что она стала вращаться вокруг своей оси каждые пять часов. Слегка сплющенная форма Земли, сжатая у полюсов, развивала приливные силы, которые постепенно сориентировали орбиту Луны вдоль земного экватора и стабилизировали ее там.

Измерения показывают, что кора Луны на той стороне, что сейчас обращена от Земли, толще. Считается, что некоторая часть выплеснутого вещества на орбите Земли первоначально не попала в собираемую Луну. Вместо этого в так называемой «точке Лагранжа», то есть на той же орбите, что Луна, но на 60° впереди нее (см. главу 5), собралась вторая луна, поменьше. Через 10 миллионов лет, поскольку оба тела медленно дрейфовали прочь от Земли, эта точка стала нестабильной, и меньшая луна столкнулась с большей. При этом ее вещество распределилось по дальней стороне Луны, сделав кору толще.

* * *

Я часто использую слова «моделирование» и «расчет», но вы должны понимать, что невозможно ничего посчитать, если не знаешь, что именно и как нужно вычислить, и невозможно ничего смоделировать, просто «послав это в компьютер». Кто-то должен спланировать вычисления до мельчайших подробностей; кто-то должен написать программу, которая скажет компьютеру, что и как считать. Эти задачи редко бывают прямолинейными и, как правило, не решаются легко.

Моделирование космического столкновения — ужасающе сложная вычислительная задача. Вещество сталкивающихся тел может быть твердым, жидким или газообразным, а к каждому из этих случаев применимы разные физические правила, требующие разных математических формулировок. В столкновении задействованы по крайней мере четыре типа вещества — это кора и мантия для Тейи и то же для Земли. Породы, в каком бы состоянии они ни были, могут дробиться на куски и сталкиваться. Их движение определяется «условиями свободного края»; это означает, что жидкостная динамика имеет место не в замкнутой области пространства с фиксированными стенами. Напротив, жидкость сама «решает», где пройдет ее граница, и ее местоположение меняется по мере того, как жидкость движется. Разбираться со свободным краем — и теоретически, и вычислительно — намного сложнее, чем с фиксированным. Наконец, при столкновении действуют гравитационные — а значит, нелинейные — силы. То есть вместо того, чтобы меняться пропорционально расстоянию, они меняются по обратно-квадратичному закону. Не секрет, что нелинейные уравнения решать намного сложнее, чем линейные.

Традиционные математические методы, основанные на ручных расчетах, никак не в состоянии решить даже упрощенные варианты этой задачи. Быстрые компьютеры с большими объемами памяти аппроксимируют задачу при помощи численных методов, а затем проводят множество вычислений методом «грубой силы», чтобы получить приближенный ответ. В большинстве моделей сталкивающиеся тела рассматриваются как капли липкой жидкости, способные как разбиваться на более мелкие капли, так и сливаться в более крупные. Первоначальные капли имеют размеры планет; капли, на которые они дробятся, меньше, но только по сравнению с планетами. На самом деле они по-прежнему довольно велики.

Стандартная модель динамики жидкости восходит к XVIII веку, к Леонарду Эйлеру и Даниилу Бернулли. Она формулирует физические законы течения жидкости в виде уравнения в частных производных, описывающего, как скорость жидкости в каждой точке пространства изменяется со временем в ответ на действующие силы. Такие уравнения не решаются в формульном виде, за исключением простейших случаев, но разработаны очень точные вычислительные методы их решения. Серьезный вопрос здесь — природа модели, которая в принципе требует исследовать скорость жидкости в каждой точке некоторой области пространства. Однако даже компьютеры не в состоянии произвести бесконечное число расчетов, поэтому мы «дискретизируем» уравнение: аппроксимируем его связанным уравнением, в котором задействовано лишь конечное число точек. В простейшем методе в качестве репрезентативной выборки для всего объема жидкости используются узлы некоторой решетки, в которых и отслеживается динамика изменения скорости. При достаточно частой решетке аппроксимация получается неплохая.

К несчастью, такой подход не слишком годится для сталкивающихся капель, потому что при разбивании капли поле скорости получает разрывы. На помощь приходит хитроумный вариант метода решетки. Он работает даже тогда, когда капли разбиваются на более мелкие или, наоборот, объединяются в более крупные. Этот метод, известный как гидродинамика сглаженных частиц, разбивает жидкость на соседние «частицы» — крохотные области. Но вместо того, чтобы использовать фиксированную решетку, мы следуем за частицами и следим, как они отзываются на действующие силы. Если соседние частицы движутся примерно с одинаковой скоростью и в одном направлении, они находятся в одной капле и останутся в ней. Но если соседние частицы направляются в совершенно разных направлениях или имеют существенно разные скорости, то капля разбивается на более мелкие.