Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Решение: На рисунке показан кратчайший маршрут по карте фестиваля Гластонбери. Чтобы убедиться, что еще более короткого маршрута не существует, мне потребовалось много времени.

Рис. 10.5. Кратчайший маршрут обхода фестиваля Гластонбери

Иногда бывает очень важно знать, что к решению задачи, над которой вы работаете, нет никаких шорткатов. Понимание, что долгий окольный путь – это единственный путь к цели, позволяет не тратить времени на безрезультатные поиски шорткатов. А если уж вы собираетесь проделать всю необходимую работу, имеет смысл знать, что вы не напрасно тратите на нее время. Можно использовать шорткат преобразования одной задачи в другую, совершенно не похожую на первую, чтобы проверить, не пытаетесь ли вы решить, скажем, замаскированную задачу коммивояжера. Если же шорткатов действительно нет, может быть, это обстоятельство тоже можно выгодно использовать, как это делают шифровальщики.

Человеческая изобретательность помогла нам выдумать поразительно разнообразные шорткаты, которые на протяжении многих поколений ускоряют развитие нашего вида. Мы никогда не оказались бы в том технологически развитом состоянии, в котором мы сейчас находимся, без этого инструментария усовершенствованных способов мышления. Если нет шортката символов, обозначающих числа, все, что больше трех, называется «много». Понимание геометрии планеты упрощает физические путешествия по ней. Хотя всего 566 человек побывали в космосе[135] и никто из них не забирался дальше Луны, шорткат тригонометрии позволяет нам ориентироваться в глубинах космического пространства.

Мы нашли шорткат к путешествиям в будущее: распознавание паттернов и математический анализ помогают предугадывать дальнейшие события до того, как они произойдут. Шорткат вероятности дает нам возможность понять, какой из возможных исходов наиболее вероятен, не повторяя один и тот же опыт сотни раз. Вдумчивый анализ сетевых соединений позволяет пользоваться шорткатами, ведущими прямо к цели, вместо беспорядочных скитаний по всему интернету. Мы даже придумали новые числа, например квадратный корень из –1, чтобы создать зеркало, проходя через которое мы получаем шорткат к решениям задач. Путешествия в этот мнимый мир обеспечивают безопасную посадку вполне реальных самолетов.

Исходной причиной того, что я отправился в математическое путешествие, несомненно, было стремление уклониться от нудной и тяжелой работы. Возможность не заниматься бездумным трудом казалась ленивому подростку очень привлекательной. Я благодарен своему учителю математики, который не заставлял класс заниматься монотонными повторениями и вычислениями, а показал, что математика – это искусство находчивого мышления. Но оглядываясь назад, я также начал замечать, что в самой сути шорткатов содержится некий парадокс.

Работа математика – находить новые способы рационального мышления, но само изобретение таких шорткатов – дело нелегкое. Занятия математикой все равно требуют многочасовых размышлений над каждой задачей – размышлений, которые, как кажется в течение долгого времени, не дают никаких плодов. Но потом внезапно возникает понимание, происходит открытие шортката через запутанные заросли задачи. Однако без долгой медитации и беспорядочных записей в блокноте мне не удается дойти до такого озарения. Именно его, восторга момента «эврики», я и жажду. Его обещает открытие секретных путей, шорткатов, позволяющих справиться с задачей.

В конце концов я понял, что посвятил себя искусству шорткатов вовсе не из лени. Почти что ровно наоборот. Наибольшее удовлетворение приносит именно трудная работа по поискам шорткатов.

Оказавшись у подножия горы, можно подняться на ее вершину на вертолете. Это позволит насладиться видами, но, как объяснил мне Роберт Макфарлейн, с точки зрения альпиниста это делает восхождение бессмысленным. Удовлетворение приносит подъем на вершину, требующий тяжкого труда. Каждый его шаг, «пока наша плоть не станет прозрачной».

Я помню разговор об интеллектуальных трудностях преодоления великих нерешенных задач с одной исследовательницей, занимающейся физикой в Гарварде. В какой-то момент она предложила мне нажать на воображаемую кнопку, которая даст ответы на все вопросы, над которыми я работаю. Когда я уже потянулся, чтобы нажать на нее, моя собеседница схватила меня за руку: «Вы уверены, что хотите этого? Разве это не лишит вашу работу интереса?»

Сходные опасения высказывала и Натали Клейн. Если бы существовал шорткат к игре на виолончели, это, возможно, делало бы занятия музыкой менее привлекательными. Экстаз, связанный с достижением состояния психологического потока, порождает сочетание мастерства с трудностью задачи.

Один из моих любимых голливудских фильмов – это «Умница Уилл Хантинг», отчасти потому, что в нем есть одно из первых в популярной культуре упоминаний Филдсовской медали – «Нобелевской премии для математиков». Но, кроме того, этот фильм показывает, как важны долгие часы работы над задачей, приводящей в отчаяние своей трудностью, в качестве прелюдии к открытию шортката к ее решению. Главный герой фильма, уборщик математического факультета MIT, которого играет Мэтт Деймон, видит написанную на доске задачу и сразу понимает, как ее решить. Пришедших на следующее утро профессоров математики потрясает его решение, наспех набросанное на доске. Но в конце концов персонаж Деймона не становится математиком.

По-моему, дело в том, что это занятие кажется ему слишком простым. Для него сложная задача, не имеющая очевидного решения, которая и побуждает его уехать в конце фильма, – это девушка, которой он пытается добиться. Одна из важных черт математического шортката состоит в том, что он должен приносить момент экстатического освобождения после всех изматывающих попыток решить задачу «в лоб».

Шорткаты, которые ищу я, – это не ответы в конце задачника. Такие шорткаты не приносят удовлетворения. Лучшие из шорткатов возникают после тяжелой и упорной работы над задачей. Они почти что подобны музыкальным произведениям, тем их моментам, когда существующее в музыке напряжение наконец находит разрешение.

Получается парадокс: хотя исходно побуждение искать шорткаты, возможно, и бывает вызвано нежеланием проводить вечность за тяжелой работой, поиски шорткатов могут в конечном счете требовать от меня ничуть не меньше труда. Тем не менее, чтобы ответить на вопрос, почему тяжелая работа над шорткатами нравится мне больше, можно изобразить кривую, описывающую прилагаемые усилия. Если построить график усилий, которые я прилагаю, чтобы просуммировать все числа от 1 до 100, их уровень, вероятно, будет приблизительно постоянным, без каких бы то ни было заметных изменений во времени. Совокупное количество затраченных усилий будет медленно, но верно расти по линейному закону. А вот график, изображающий приложение усилий для поисков шортката будет выглядеть гораздо менее предсказуемо. На нем будут подъемы и спуски. Вероятно, в самом конце он взлетит до пика, а потом, когда начнется использование найденного шортката, упадет до минимума. Но после этой точки такой график уже не поднимется выше некоторого минимального базового уровня, потому что работать будет шорткат. А график работы над долгим решением так и будет отражать столь же тяжелую работу.