Значимые фигуры - Йен Стюарт

Соблазнительно считать, что необычный математический талант имеет неврологическое объяснение. В дни расцвета френологии Франц Галь предположил, что важные способности человека связаны с конкретными областями мозга и их можно оценить, измерив форму черепа. Если вы талантливы в математике, на вашей голове найдется математическая шишка. Сегодня френологию считают псевдонаукой, хотя некоторые конкретные области мозга действительно играют в определенных случаях особую роль. Сегодняшнее увлечение генетикой и ДНК, естественно, рождает вопрос о существовании «математического гена». Трудно поверить, что это может быть правдой, ведь математике всего несколько тысяч лет, так что у эволюции не было времени провести отбор на математические способности – такой отбор вероятен не более, чем отбор на способности к пилотированию реактивного истребителя. Скорее всего, математический талант опирается на другие способности, более полезные для выживания, – острое зрение, цепкую память, умение раскачиваться на ветках и перепрыгивать с дерева на дерево. Иногда он передается по наследству – вспомнить хотя бы семейство Бернулли, – но в большинстве случаев этого не происходит. Но даже в тех случаях, когда талант передается, происходит это, скорее всего, в процессе воспитания, а не в результате генетического наследования: дядя-математик, математический анализ на обоях спальни. Даже генетика постепенно приходит к пониманию, что ДНК – это далеко не все.

Тем не менее кое-что общее у математиков-первопроходцев все же есть. Они оригинально мыслят, обладают богатым воображением и весьма неортодоксальны. Они всюду ищут закономерности и наслаждаются решением сложных задач. Они уделяют пристальное внимание тонким логическим моментам, но любят и творческие прыжки через несколько логических ступеней; иногда они приходят к выводу о перспективности какого-то определенного подхода к проблеме, несмотря на то что объективных данных в его пользу почти нет, и оказываются правы. Они прекрасно умеют сосредоточиваться, но, как настаивал Пуанкаре, не должны замыкаться на задаче настолько, чтобы биться головой о стены. Они должны давать своему подсознанию возможность и время для того, чтобы все внимательно обдумать. Часто они обладают прекрасной памятью, но некоторые – к примеру, Гильберт – не могли ею похвастаться.

Кто-то из них молниеносно считал – например, Гаусс. Эйлер однажды разрешил спор между двумя математиками, где речь шла о пятидесятом знаке после запятой в сумме одного сложного ряда; для этого он вычислил сумму ряда в уме. С другой стороны, они могли путаться в простейшей арифметике, не испытывая от этого никаких видимых неудобств. (Большинство тех, кто считает с быстротой молнии, безнадежны в чем-нибудь более сложном, чем арифметика; Гаусс и в этом, как и во всем остальном, был исключением.) Они способны впитывать в себя громадные количества данных, накопленных предыдущими исследователями, выделять и усваивать их суть, но способны и полностью игнорировать все традиционные подходы. Кристофер Зееман часто говорил, что, начиная работу над задачей, не следует читать посвященную ей исследовательскую литературу, поскольку чужие результаты непременно загонят ваш разум в те же колеи, по которым двигались и в которых застревали остальные. Тополог Стивен Смейл в самом начале своей карьеры решил задачу, которую все считали поистине непреодолимой, – никто ведь не сказал ему, что это сложная задача.

Почти все математики обладают сильной интуицией, формальной или визуальной. Я говорю в данном случае о зрительных центрах мозга, а не о зрении: продуктивность Эйлера выросла, когда он ослеп. В книге «Психология процесса изобретения в области математики» Жак Адамар задает многим ведущим математикам вопрос о том, как именно они размышляют об исследовательских задачах: в символьном виде или с использованием ментальных образов того или иного рода. Оказалось, что почти все математики, за редким исключением, пользовались визуальными образами, даже когда сама задача и ее решение были в основном символьными. К примеру, мысленный образ, которым для Адамара сопровождалось Евклидово доказательство существования бесконечного количества простых чисел, включал не алгебраические формулы, но беспорядочную массу, представлявшую собой известные простые числа, и точку в стороне от этой массы, представлявшую собой новое простое число. Смутные метафорические образы попадались часто, а формальные схемы, как у Евклида, – редко.

Тенденция к использованию визуальных (и тактильных) образов прослеживается еще в «Алгебре» аль-Хорезми, название которой отсылает к понятию равновесия. Задействованный в ней образ преподаватели нередко используют и сегодня. Две стороны уравнения рассматриваются как набор объектов, помещенных на разные чаши весов, которые необходимо уравновесить. Тогда алгебраические операции производятся одновременно над обеими сторонами, чтобы не нарушать равновесия. В конце концов у нас получается неизвестная величина на одной чаше весов и некое число на другой: это и есть ответ. Математики при решении уравнений часто представляют себе, как движутся символы. (Вот почему они до сих пор любят доску и мел: чтобы обозначить движение, достаточно что-то стереть, а что-то переписать.) В «Алгебре» аль-Хорезми присутствует и более очевидное геометрическое мышление с рисунками, на которых изображается дополнение квадрата при решении квадратного уравнения. По легенде, один математик умудрился прочесть довольно сложную лекцию по алгебраической геометрии, нарисовав на доске одну-единственную одинокую точку, представляющую собой некую «общую точку». Во время лекции он на нее ссылался, отчего содержание лекции стало намного понятнее. Школьные доски по всей планете, не говоря уже о салфетках и иногда скатертях, плотно исписаны заумными символами и изрисованы жутковатыми каракулями. Каракули эти могут представлять все что угодно – от десятимерного многообразия до алгебраического числового поля.

Согласно оценке Адамара, около 90 % математиков думают зрительно, и только 10 % – формально. Я знаю по крайней мере одного видного тополога, который испытывает проблемы с визуализацией трехмерных фигур. Не существует универсального «математического ума» – единого рецепта для всех вы не найдете. Большинство математических умов не движется к цели последовательными логическими шагами; так происходит только в приглаженных доказательствах, которые они публикуют в конечном итоге. Как правило, первым шагом становится рождение верной идеи, часто в результате неопределенных размышлений о главных вопросах, приводящих к своего рода стратегическому ви́дению; следующий шаг – выработка тактики для доказательства этого результата; и наконец, финальный шаг заключается в том, чтобы записать все заново в формальном виде и получить ясную, последовательную и логичную историю (убрать леса, по Гауссу). На практике большинство математиков мечется между двумя способами мышления; они прибегают к образности, когда нет ясности, каким путем следовать, или когда хотят получить упрощенную общую картину, но переходят на символьные вычисления, когда знают, что нужно делать, но не уверены, куда приведет их этот путь. Однако некоторые из них ломятся вперед, ни на что не обращая внимания и пользуясь только символами.

Необычайные математические способности не коррелируют, вообще говоря, с другими качествами. Судя по всему, они достаются людям случайно. Некоторые, такие как Гаусс, проявляют их уже в три года. Другие – и среди них Ньютон – детство растрачивают понапрасну, но расцветают позже. Маленькие дети, как правило, с удовольствием занимаются числами, фигурами и геометрическими узорами, но с возрастом многие теряют интерес к подобным вещам. Большинство из нас способны освоить математику в объемах школьной программы, но немногие готовы идти дальше. Некоторые в принципе не в состоянии освоить этот предмет. Многие профессиональные математики склоняются к мнению, что там, где речь идет о математических способностях, люди не рождаются равными. Если вам лично большая часть школьной математики кажется простой и очевидной, тогда как другие с трудом осваивают самые ее начала, впечатление создается именно такое. Если же одни ваши студенты спотыкаются на простых концепциях, а другие мгновенно схватывают сложные, это ощущение только усиливается.