Апология математики - Владимир Успенский

Разговор о несуществованиях решений мы продолжим в главах 5 и 6, а пока укажем второй общекультурный аспект открытия явления несоизмеримости. Этот второй аспект заключается в том, что открытие несоизмеримости привело, хотя и очень не сразу, к понятию действительного числа, лежащему в основе не только математики, но и всего современного естествознания и современной техники.

Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, то есть квадрата со стороной длины единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким образом, возникает дилемма: или признать, что существуют отрезки, не имеющие длины, или изобрести какие-то новые числа, помимо целых и дробных. Человечество выбрало второе. Ввиду важности сделанного выбора изъяснимся более подробно.

Давайте осознаем, как возникает понятие длины — с логической точки зрения, но отчасти также и с исторической. Прежде всего, вводится единица измерения, то есть отрезок, длиной которого объявляется число единица. Этот отрезок называется единичным отрезком. Если теперь этот единичный отрезок укладывается в каком-то другом отрезке семь или семьдесят семь раз, то этому другому отрезку приписывается длина семь или, соответственно, семьдесят семь. Таким способом приписываются целочисленные длины всем отрезкам, такую длину имеющим. За бортом указанного процесса остаются все те многочисленные отрезки, в которых единичный отрезок не укладывается конечное число раз. Посмотрим, как обстоит дело с ними. Возьмём какой-нибудь из таких отрезков и предположим, что он соизмерим с единичным. Пусть, для примера, их общая мера укладывается в нашем отрезке 18 раз, а в единичном отрезке 12 раз. Тогда в нашем отрезке укладывается восемнадцать двенадцатых долей единичного отрезка, и ему приписывается длина восемнадцать двенадцатых. Если для двух отрезков найдена их общая мера, то для них всегда можно указать и другие общие меры — и при том в бесконечном количестве. Для рассматриваемого случая таковыми будут, скажем, мера, укладывающаяся в избранном отрезке 180 раз, а в единичном 120 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 9 раз, а в единичном 6 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 6 раз, а в единичном 4 раза; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 3 раза, а в единичном 2 раза. Следовательно, нашему избранному отрезку можно приписать и длину сто восемьдесят сто двадцатых, и длину девять шестых, и длину шесть четвёртых, и длину три вторых. Именно поэтому дроби 180/120, 18/12, 9/6, 6/4 и 3/2, будучи различными дробями, выражают одно и то же число. Указанные дроби можно трактовать как имена этого числа, то есть как синонимы. Таким образом, длина у отрезка единственна, хотя и именоваться может по-разному.

Числа, выражаемые дробями, называются дробными. Целые и дробные числа объединяются вместе под названием рациональные числа. (Для простоты изложения мы ничего не говорим об отрицательных числах; для наших целей они не нужны, и о них можно просто забыть.) Казалось бы, какие ещё могут быть числа? Но, как мы знаем, диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной. Поэтому если взять квадрат со стороной длины единица, то оказывается, что длина диагонали этого квадрата никаким рациональным числом не выражается. Следовательно, у этой диагонали либо вовсе нет длины, либо эта длина выражается числом какого-то нового типа, каковой тип ещё только подлежит введению в рассмотрение. Числа этого нового типа называются иррациональными, вместе с рациональными они образуют систему действительных, или вещественных, чисел. Теперь уже каждый отрезок обретает длину в виде некоторого действительного числа.

Надо иметь в виду, что изложенный взгляд на понятие числа, включающий в объём этого понятия и иррациональные числа, есть взгляд с современной точки зрения. Чтобы прийти к этой точке зрения, потребовались тысячелетия. В древности лишь натуральные числа считались числами. Число понималось как совокупность единиц. Очень постепенно в обиход входили дроби — сперва с числителем единица и небольшим знаменателем, затем числителю уже разрешалось быть большим единицы, но всё-таки непременно меньшим знаменателя, и так далее. Но и дробь не сразу была признана выражающей число, поначалу она трактовалась иначе — как выражающая отношение величин. Открытие явления несоизмеримости привело к осознанию того поразительного факта, что не всякое отношение величин может быть выражено дробью, и, в конечном счёте, к возникновению понятия действительного числа. Возможно, впервые ясное представление о действительных числах сформулировал великий арабский учёный и государственный деятель XIII века Насирэддин Тусби. Рассуждая об однородных величинах (таковыми являются длины, или веса, или объёмы и т. п.) и отношениях величин одного и того же рода, он писал: «Каждое из этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов». И наконец, завершающую точку в развитии ясного, хотя всё ещё интуитивного, представления о действительных числах поставил Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» (1707): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей; дробное есть кратное долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».

Нормы научной строгости со временем ужесточаются. Можно полагать, что формулировки Туси и Ньютона воспринимались современниками как определения понятия действительного числа. В наши дни они воспринимаются как всего лишь полезные комментарии. Заключённая в этих комментариях вербализация свидетельствует, что в XIII–XVIII веках понятие действительного числа уже с достаточной отчётливостью воспринималось именно как понятие. Постепенно, однако, возрастала потребность не только в интуитивном осознании, но и в исчерпывающих определениях. Формулировки Туси и Ньютона потому не являются таковыми, что содержашиеся в них термины «величина» и «отношение» сами нуждаются в разъяснении. Теории действительных чисел, отвечающие сегодняшним требованиям строгости, появились лишь около 1870 года. Первопроходцем здесь был почти забытый ныне французский математик Шарль Мерэ (Charles Méray; 1835–1911). В его жизни было два события, каждое из которых поставило его на почётнейшее первое место в некоторой значимой сфере. В 1854 году Мерэ оказался касбиком — то есть первым среди принятых по конкурсу в парижскую Высшую нормальную школу (каковую благополучно окончил в 1857 г.); в первоначальном своём значении слово cacique означает индейского племенного вождя в доколумбовой Латинской Америке. В 1869 году Мерэ опубликовал статью, в которой было впервые дано определение действительного числа и впервые изложена математическая теория действительных чисел. Не только первое, но и второе из этих событий остались лишь фактами его биографии. Мерэ имел статус уважаемого, но не ведущего математика своего времени, хотя имел основания числиться именно таковым. Его идеи не были должным образом оценены современниками и никак не повлияли на развитие науки. На развитие науки повлияли появившиеся через несколько лет публикации прославленных, в отличие от Мерэ, немецких математиков Рихарда Дедекинда (1831–1916) и Георга Кантора (1845–1918), о котором мы ещё поговорим в главе 7. Каждый из них предложил некую конструкцию, посредством которой действительные числа строились на базе чисел рациональных. Хотя нет сомнений, что конструкция Кантора была найдена им независимо, она повторяет конструкцию Мерэ.