Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Вот мы и оказались на пороге противоречия. У трубы Гавриила есть конечный объем, то есть вы вольны заполнить ее краской, вы это можете. Тем не менее у нее нет конечной площади поверхности: при всем желании у вас не получится ее покрасить.

Но… если вы наполните ее краской, не будет ли это значить, что каждая точка поверхности окрашена?

Как и то и другое одновременно может быть правильным?

Первым, кто исследовал эту парадоксальную фигуру, был итальянский математик XVII в. Эванджелиста Торричелли. Вместе со своими приятелями Галилеем и Кавальери он прокладывал «королевскую дорогу через математические чащи», используя новомодную на тот момент математику бесконечно малых величин. «Очевидно, – писал Кавальери, – что плоские фигуры должны пониматься как куски, сплетенные из параллельных линий, а объемные тела – как книги, состоящие из параллельных страниц».

Эти ученые были поглощены бесконечными суммами, бесконечно тонкими элементами и странными объектами, такими как труба Гавриила, которая также известна как «труба Торричелли».

Это был математический анализ, выбирающийся из своей колыбели.

В то время орден иезуитов создал достойную восхищения систему университетов по всей Европе. Это были не просто хорошие учебные заведения, это были католические школы. «Для нас, – сказал один из лидеров ордена, – уроки и научные занятия – это нечто вроде крюка, на который мы будем ловить души». В этой учебной программе математика играла главную роль. «Без сомнений, – заявил один из иезуитов по имени Клавий[61], – математические дисциплины занимают среди всех остальных первое место».

Но не просто любая математика: она должна была быть евклидовой. Евклидова геометрия развилась с помощью четкой логики от самоочевидных предположений до нерушимых заключений без единого сбоя или парадокса. «Теоремы Евклида, – говорил Клавий, – сохраняют… свою истинную чистоту и неоспоримую несомненность». Иезуиты видели у Евклида модель самого общества, где власть папы является неопровержимой аксиомой.

Что касается работы Торричелли, иезуиты не относились к числу его фанатов. Историк Амир Александер в своей книге «Бесконечно малые: как опасная математическая теория сформировала мир» (Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the World) объясняет: «Тогда как евклидова геометрия являлась строгой, чистой и неопровержимо верной, новые методы были наполнены парадоксами и противоречиями и с равной вероятностью вели как к ошибке, так и к истине». Иезуиты считали трубу Гавриила анархистской пропагандой, угрозой порядку. «У них была тоталитарная мечта о неопровержимой истине и цели, которая не оставляла места сомнениям и спорам», – говорит Александер. Как подытожил Игнатий[62], еще один иезуит того времени: «То, что кажется нам белым, черно, если так говорит Церковь».

Таким образом, папа запретил бесконечно малые. Торричелли стал математическим преступником, а труба Гавриила – интеллектуальной контрабандой.

Ирония в том, что этот парадокс не так уж трудно разрешить. Как труба Гавриила может иметь внутреннюю часть, которую можно наполнить краской, и внешнюю часть, которую нельзя покрасить? Все это зависит от того, как мы думаем об этом процессе.

Как объясняет математик Роберт Гетнер, парадокс строится на предположении о том, что «площадь поверхности» соответствует тому, что нужно покрасить. Но окрашивание не является двумерным. «Если мы планируем покрасить комнату, – пишет он, – мы не будем просить 1000 квадратных метров краски». Как и бумага, окраска трехмерна. У слоя краски есть толщина, пусть и очень маленькая.

Поэтому первый подход: позволить толщине слоя краски постепенно исчезать, становиться все тоньше и тоньше вместе с трубой Гавриила. Пользуясь этим предположением, возможно покрыть поверхность конечным количеством краски. Парадокс разрешен.

Или, если хотите, вы можете выбрать другой подход. Предположим, что для слоя краски нужна некоторая минимальная толщина. (Это больше похоже на окрашивание в физическом мире; например, краска не может лечь слоем толщиной в от размера атома.) Таким образом, двигаясь вниз по оси, труба истончается до субатомных масштабов, но со слоем краски этого не происходит. В конце концов он станет в миллиарды раз толще окрашиваемого предмета. Это возвращает нас к нашему первоначальному выводу, что трубу невозможно покрасить. Только теперь еще и невозможно наполнить ее краской, потому что в определенный момент она становится тоньше, чем самая маленькая частица краски.

Если следовать этому предположению, то трубу невозможно ни окрасить, ни наполнить краской. И снова парадокс разрешен.

Я не могу однозначно сказать, совершили ли иезуиты начала XVII в. религиозную ошибку. Но я полагаю, что с математикой они ошиблись. Парадокс – это не то, чего следует бояться, и не то, что нужно истреблять. Это повод поразмыслить, приглашение к изучению.

Парадоксы произрастают не только в отдающих плесенью закоулках теологии и математики, но также, по словам профессора в области предпринимательства Марианны Льюис, и в корпоративной обстановке. Элементы, которые «кажутся вполне логичным, если рассматривать их отдельно» – краткосрочные цели, долгосрочный прогноз, стратегический приоритет, – становятся «иррациональными, противоречивыми и даже абсурдными, если совместить их». Это не обязательно плохо. «Парадоксы дают пищу способности к творчеству, – пишет Льюис. – Понимание парадокса может содержать ключ к тому, как справиться со стратегическими затруднениями и даже стать лучше, столкнувшись с ними». Парадокс – это песчинка, которая помогает создать жемчужину теории.