Механизм Вселенной: как законы науки управляют миром и как мы об этом узнали - Скотт Бембенек

Тогда, в общем, получается, что энергия резонатора рассчитывается по формуле:

Eрезонатора = mhν,

где m = 0, 1, 2, 3, …

Планк представил свой вывод 14 декабря 1900 года. Из своих поисков спектра излучения абсолютно черного тела он вышел победителем. Также он достиг желанного физического понимания взаимодействия вещества со светом. Тем не менее, за это он заплатил большую цену.

Он был вынужден обратиться к больцмановскому методу получения полного числа микросостояний, чтобы получить выражение для энтропии. Тот метод вовсе не был популярным и многие его считали в лучшем случае вызывающим сомнения. Что хуже, в отличие от Больцмана, который в конце концов смог аккуратно устранить те раздражающие порции, Планк остался с ними навсегда, поскольку их устранение привело бы к полному и абсолютному провалу его теории.

Полное признание этого довольно хитрого характера энергии означало, что вся физика, которую Планк знал, навсегда радикально изменится. По вполне понятным причинам Планк не желал принимать роль революционера, и для продвижения концепции прерывной, или дискретной, природы энергии, которую мы сейчас называем квантами энергии (или квантом в случае одной порции), он сделал очень мало.

Он придерживался идеи, что кванты энергии были математическим артефактом, и надеялся, что будущие усовершенствования его теории приведут назад, к «старой доброй физике» (классической физике) с менее радикальными результатами. Он, как и почти все остальные, предпочел концентрировать внимание на замечательной точности закона излучения Планка, а не на раздражающих квантах энергии, существование которых он подразумевал. Прошло восемь лет с момента, когда Планк впервые представил свою квантовую теорию дискретной энергии, и до момента, когда он смог окончательно признать, что она излагала фундаментальную природу энергии:

«…имеется определенный порог: резонатор совсем не отвечает на очень слабые возбуждения; если он отвечает на более сильные, то только так, что энергия является целым кратным элемента энергии hν, так что мгновенное значение энергии всегда представляет собой такое целое кратное».

В то время как Планк и другие, возможно, колебались в признании квантов энергии, один человек принял их сразу.

В 1905 году, когда ему было двадцать шесть лет, Эйнштейн опубликовал четыре крупные статьи и закончил свою докторскую диссертацию. Каждая из этих статей была революционной и впоследствии изменила физику навсегда. Однако только первую из них, «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света», Эйнштейн называл «очень революционной» – на самом деле это был единственный раз, когда он сказал такое о какой-либо своей работе – и она, в частности, принесет ему Нобелевскую премию в 1921 году.

Действительно, представление Эйнштейна о свете было очень революционным, и только почти через двадцать лет его аккуратно включили в физику. В отличие от Планка, Эйнштейну было удобно использовать статистические подходы (такие как кинетическая теория или статистическая механика) для решения физических проблем. На самом деле Эйнштейн потратил значительное время на эти методы.

В цикле из трех публикаций между 1902 и 1904 годами Эйнштейн независимо включил некоторые из идей статистической механики, которые уже были сформулированы раньше Больцманом и Гиббсом. Видимо, Эйнштейн был в некоторой степени знаком с работами Больцмана, но, несомненно, вообще не знал трудов Гиббса. Кажется, что Эйнштейн почерпнул знания о работах Больцмана из «Лекций по теории газов», двухтомного труда, изданного в 1896 и 1898 годах. Это факт вызывает сожаление, поскольку данная работа не должна была быть обзором предыдущей работы Больцмана. В частности, метод сочетаний Больцмана, разработанный в 1877 году, который Планк использовал при получении квантов энергии, упомянут лишь мимоходом, а читателя (наверняка запутавшегося) отсылают к исходному источнику, который, кажется, Эйнштейн не смог найти.

Более того, хотя Больцман был выдающимся лектором, его труды были часто излишне длинными и малопонятными, а основные выводы часто прятались в лесу вычислений. Максвелл говорил о рукописях Больцмана: «Изучая Больцмана, я не мог его понять. Он не мог понять меня из-за моей краткости, а его длинные рассуждения были и остаются таким же серьезным препятствием для меня».

Возможно это отсутствие близости пошло на пользу Эйнштейну, поскольку дало ему возможность разработать статистическую механику с нуля, поистине построив ее своими руками в первые годы его занятий физикой. Как потом стало ясно, подход Эйнштейна к изучению квантов, или квантовая теория, был по своей сути статистической механикой, и методы, разработанные им в годы становления, сослужили ему добрую службу в его стремлениях в течение более чем двадцати лет, особенно в усилиях по изучению природы света.

Как это было в работах Планка, в статье, написанной Эйнштейном в 1905 году, энтропия также играла важную роль. Эйнштейн был заинтересован в вычислении энтропии системы, состоящей из света, находящегося в ящике с объемом V0. Хотя может показаться странным рассматривать ящик, полный света, сама эта система не так сильно отличается от других, которые мы обсуждали, вроде ящика (или воздушного шарика) с атомами газа.

Начав с уравнения (изначально выведенного Вином) и используя закон излучения Вина (не Планка), Эйнштейн получил явное выражение для энтропии света в ящике, S0. Затем он перешел к рассмотрению энтропии, возникающей при заключении света в меньший объем V (под-объем) внутри ящика. Он нашел разность этих энтропий:

S – S0 = k ln (V / V0) E / hν,

где E – полная энергия света в ящике, а hν, как в уравнении Планка, – квант энергии.

Теперь, если мы определим W из уравнения Больцмана выражением

W = (V / V0) E / hν,

в которое входят величины из уравнения Эйнштейна, тогда мы получим:

S = k ln W + S0.

Дополнительный член S0 возникает, потому что мы представляем систему находившейся в другом макросостоянии до того, которое рассматривается сейчас и имеет энтропию S. Это более общая форма уравнения Больцмана, которая впервые появилась в статье Планка.

Итак, Эйнштейн рассматривал то же самое изменение энтропии для системы, содержащей N атомов идеального газа. Атомы идеального газа не взаимодействуют, а точнее, ведут себя независимо друг от друга. Более того, здесь мы говорим о классическом идеальном газе, тогда как позже мы обсудим его квантовый аналог. Опять же, Эйнштейн рассматривал систему, сначала находящуюся в ящике с объемом V0, которую внезапно ограничили до под-объема V.