Лейбниц. Анализ бесконечно малых - Jose Munoz Santonja

Так можно обозначить двоичные числа от 0 до 63. Достаточно назначить гексаграмме двоичный код и превратить его в десятичное число. Например, гексаграмма на следующем рисунке обозначала бы число:

101001(2= 1·25 + 0·24+1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·2° = 32 + 8+1 =41.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ

Обычно мы воспринимаем вещи, которые знаем с детства, так, словно они были всегда. Кажется, что интернет, мобильные телефоны, компьютеры и телевидение существуют уже давным- давно, хотя многие из нас жили еще в те времена, когда их еще не изобрели. С символами, используемыми в науке, происходит то же самое. Мы привыкли писать и совершать операции с числами и функциями, используя символы, которые, кажется, были всегда. При этом, например, арабские цифры, сопровождающие нас в повседневной жизни, более "новые" для нашей культуры, нежели римские.

В XVI и XVII веках одной из сложностей для обмена результатами исследований или понимания разработок других ученых было именно отсутствие четкой и унифицированной записи.

Символы + и - для операций сложения и вычитания начали применяться только в XV веке в Германии. После этого еще довольно долго в некоторых странах, например в Испании, продолжали работать с символами ~р и ~т (начальные от plus и minus). Использование знака х для умножения приписывается Отреду, изобретателю логарифмической линейки.

Черта для обозначения деления считается арабским изобретением, а Фибоначчи (ок. 1170 — ок. 1250) распространил его по Европе. Любопытно, что только в XIX веке английский математик Огастес де Морган (1806-1871) начал использовать вариант α/b, исходя из интересов книгопечатания, поскольку в изданиях выражение

a/b

занимает три строчки, в то время как предыдущее — только одну.

Ньютон был первым, кто применил степени для представления дробей и корней. Так, он использовал а-1 для обозначения

1/a

и а3/5 — для 5√а3. Символ √ для корней — как деформация буквы r — начал использоваться в XVI веке.

Англичанин Роберт Рекорд (1510-1558) первым ввел символ =, поскольку считал, что нет ничего более равного, чем две параллельные линии. Однако потребовался почти век, чтобы этот знак приняли в качестве распространенного символа. Декарт, например, пользовался символом ∞ (у его символа раскрытие было слева). Символы < и > для обозначения меньшего и большего появились только в начале XVII века благодаря англичанину Томасу Хэрриоту (1560-1621).

Другим важным элементом вычисления было понятие функции. Французу Николаю Орезмскому приписывают авторство примитивного понятия функции, которую он определял так: "Все, что варьирует, вне зависимости от того, можно ли это измерить, можно вообразить в виде непрерывной величины, представленной отрезком". Именно Декарт начал работать с данным понятием как с отношением между двумя переменными, которое можно представить в виде кривой. С него, кстати, пошла традиция пользовался первыми буквами алфавита для обозначения констант и последними — для переменных, как мы это делаем и сегодня.

Первое ясное представление о функциональном отношении появилось благодаря шотландцу Джеймсу Грегори, который указывал, что переменная зависит от нескольких выражений, если ее можно получить из них с помощью любой вообразимой операции.

ЗАПИСЬ ЛЕЙБНИЦА

Лейбниц очень осторожно относился к выбранной записи и посвящал много времени ее совершенствованию. Он был первым, кто начал использовать точку (·) для обозначения действия умножения, поскольку символ х можно перепутать с переменной.

Лейбниц также был первым, кто стал использовать символ : для деления — из тех же соображений, которыми позже руководствовался Морган. Он писал:

"а, деленное на b, обычно обозначают

a/b

однако очень часто предпочтительно избегать этого и продолжать в том же абзаце, воспользовавшись вставкой двух точек; то есть

а : b обозначает а, деленное на b".

Швейцарец Иоганн Генрих Ран за несколько лет до этого применил знак для обозначения деления. Данный символ прижился в Англии и используется в англо-саксонских странах, в то время как в большинстве других стран принято обозначение Лейбница.

Лейбниц также был первым человеком, употреблявшим слово функция в своих работах, хотя это еще было не то же самое понятие, которое подразумеваем мы. Именно Иоганн Бернулли первым использовал это слово и дал ему конкретное определение: "Функция переменной определяется как величина, состоящая неким образом из переменной и констант"; под "неким образом" предполагается как "алгебраически", так и "трансцендентно". Кроме того, он был первым, кто использовал слова константа, переменная и параметр.

Лейбниц начал пользоваться аббревиатурой omn для вычисления интеграла. Это слово применял Кавальери, оно происходит от латинского omnia lineas (все линии), поскольку площадь интеграла складывается из множества линий, являющихся неделимыми. В рукописи 1675 года Лейбниц решил заменить omn символом, который мы используем сегодня: ∫. Однако впервые слово интеграл ввел Якоб Бернулли — в первой статье, где был представлен его анализ (напечатана в "Актах ученых" в 1690 году).

Лейбниц выяснил, что omn увеличивает свое значение, поскольку происходит сложение, а обратная ей операция — нахождение производной — должна вести к уменьшению. Можно сказать, что отп суммировались, а обратная операция вычиталась, поэтому для обозначения разности во второй операции ученый использовал символ d. Изначально Лейбниц ставил d в знаменателе. Он писал: "Это получается обратным вычислением. Предположим, что ∫l = уа. То есть

l = yα/d.

тогда точно так же, как ∫ растет, d уменьшается в размерах". Позже Лейбниц уже помещал d в числитель.

В первой статье об анализе 1684 года уже присутствовал символ d для обозначения дифференцирования, а во второй статье 1686 года появился символ ∫ и даже dx внутри интеграла.

НОВЫЙ ГЕРЦОГ

С тех пор как в 1676 году Лейбниц стал советником дома Брауншвейг-Люнебург при ганноверском дворе, он тратил много сил на службу герцогу во всем. Ученый предлагал много проектов тем, кто, как он считал, могли ими заинтересоваться. Он пользовался свободой и поддержкой в занятиях, которые казались ему интересными. Кроме того, поездки, связанные с выполнением поручений герцога, позволяли Лейбницу общаться с учеными, техниками, теологами и философами из разных стран.

В июне 1698 года после затяжной болезни умер Эрнст Август, за время правления которого герцогство Брауншвейг- Люнебург стало курфюршеством. Герцога сменил его сын Георг Людвиг, позже ставший королем Великобритании Георгом I. Отношения Лейбница с новым покровителем не были столь теплыми, как с его отцом и дядей. Наоборот, они были натянутыми до такой степени, что когда Георг переехал в Англию, он не позволил Лейбницу отправиться с ним, вынудив его остаться на континенте.