Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

К слову, а также потому, что я хотел бы поделиться этим интересным фактом, самое большое число, когда-либо использованное в математическом доказательстве, названо в честь этого же самого Рона Грэма. Число это настолько велико, что его невозможно записать в стандартной математической нотации.

Вернемся наконец к доказательству гипотезы Коллатца. Его не существует, и, по правде говоря, я знаю множество способов заработать 500 долларов, гораздо более простых, чем возня с этой задачей.

Я несколько сомневался, говорить ли о следующей загадке. На самом деле она очень проста. Тем не менее после бурного спора с самим собой я решил все-таки рассказать о ней, потому что она весьма знаменита, причем и сама загадка, и ее решение замечательно красивы.

Рассмотрим сетку размером 8 × 8 ячеек.

Очевидно, всю эту сетку легко покрыть 32 костяшками домино размером 1 × 2 ячейки. А теперь уберем две клетки, расположенные в противоположных углах.

Можно ли покрыть получившуюся сетку всего 31 костяшкой?

Мои друзья (все они не математики, но по большей части люди весьма умные) в большинстве своем уверены, что можно, – нужно только сообразить, как именно их следует расположить.

Но правильный ответ на этот вопрос – «нет». Что бы мы ни делали, 31 костяшка домино не может покрыть сетку с удаленными противоположными угловыми клетками.

Почему это так, немедленно становится ясно, если взять вместо такой незакрашенной сетки черно-белую шахматную доску.

Как видно на рисунке, каждая костяшка домино может закрыть одну черную клетку и одну белую; поэтому 31 костяшка может закрыть в точности 31 белую клетку и 31 черную. Поскольку две клетки, удаленные с доски, одного и того же цвета – белые, – в обрезанной доске осталось 30 белых клеток и 32 черные. Много лет назад, когда я учился на математическом факультете в Тель-Авиве, я вел для «интересующейся наукой молодежи» курс под названием «Парадоксы, загадки и числа». Я давал эту задачу молодым слушателям своего курса. Каждый раз происходила одна любопытная вещь. Многие ученики решительно не соглашались с доказательством, которое показывает, что 31 костяшка домино не может покрыть доску с удаленными противоположными угловыми клетками. Интересно отметить, что в их число входили и ученики, казалось бы, вполне понимавшие объяснение этого доказательства; тем не менее они упорно раскладывали костяшки домино так и эдак, стараясь покрыть эту самую доску с обрезанными углами. Я даже не пытался убедить их в бессмысленности этого занятия – каждый должен учиться на собственных ошибках.

Головоломка

Докажите, что, если из шахматной доски удалить любые две клетки разных цветов, все оставшиеся клетки всегда можно покрыть 31 костяшкой домино.

Когда я учился в начальной школе в Литве, в своем родном Вильнюсе, одним из самых значительных моих достижений было обретение виртуозного умения играть на уроках в стратегические игры с карандашом и бумагой и не попадаться учителям. Моей любимой игрой был бесконечный вариант крестиков-ноликов. Эта игра не раз спасала меня от скуки на занятиях, на которых меня заставляли сидеть.