Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев

т.к. здесь деление совсем не такое как обычно. Например, 1/2 в Fp – это очень большое число (p+1)/2, что, казалось бы, противоречит здравому смыслу. На это возражение можно ответить следующим образом. Во-первых, как я отмечаю в своих работах, противоречия нет т.к. в квантовой теории пространства состояний проективные. А во-вторых, как отмечено выше, стандартное деление тоже проблематично и поэтому возникает вопрос, будет ли будущая квантовая теория основана не на конечном поле, а на конечном кольце, где есть только три действия – сложение, вычитание и умножение.

Вторая возможность представляется очень привлекательной даже из эстетических соображений. История физики говорит, что желательно вводить наименьшее возможное число понятий и не вводить понятия, которые не имеют фундаментального смысла. В своих первых работах я исходил из того, что конечная квантовая теория должна быть основана на конечном поле, но Metod Saniga написал мне, что случай кольца еще более интересный.

Т.к. в течении многих лет моя жизнь проходила среди физиков, то вначале я не связывал физику над конечной математикой с какой-то философией, и думал, что конечная математика должна рассматриваться только с точки зрения приложений к физике. Первая идея применения конечной математики была такая. Рассмотрим квантовую электродинамику с симметрией де Ситтера и над конечной математикой. Тогда в базисе угловых моментов, неприводимые представления для электрона, позитрона и фотона будут конечными т.к. угловой момент не может превосходить характеристику конечного поля. Это приведет к естественной регуляризации вместо регуляризации Паули-Вилларса и теория автоматически не будет содержать расходимостей.

Однако, потом выяснилось, что такая наивная идея не проходит в связи со следующим. В теории над конечным полем или кольцом частица и ее античастица автоматически принадлежат одному и тому же представлению, и нет представлений для нейтральных частиц. Так что в таком подходе даже фотон не может быть элементарной частицей. Зная менталитет физиков, думаю, что большинство из них сразу скажут, что раз фотон – не элементарная частица, то теория нефизическая.

Выше я описывал пример, когда в стандартной теории (над комплексными числами) с алгеброй де Ситтера so(1,4) понятия частицы и античастицы кардинально меняются. Но в случае алгебры де Ситтера so(2,3) мы по-прежнему имеем представления с положительными и отрицательными энергиями, т.е. можно по-прежнему говорить о частицах и античастицах. Но в случае представлений над конечным кольцом или полем ситуация аналогична той, что получается для so(1,4) и здесь само понятие элементарной частицы кардинально меняется для любых представлений.

Например, раз частица и ее античастица принадлежат одному неприводимому представлению, то переходы частица↔античастица не запрещены, но вероятность таких переходов мала, если характеристика поля или кольца большая. Так что, строго говоря, сами понятия частицы и античастицы являются приближенными, и законы сохранения электрического заряда, барионного и лептонного квантовых чисел тоже приближенные. Эти законы хорошо работают потому что в настоящее время характеристика поля или кольца очень большая. Естественно предположить, что на ранних стадиях мира она была намного меньше. Тогда переходы частица↔античастица были намного более вероятными и это дает еще одно естественное объяснение так наз. барионной асимметрии мира.

В такой теории нет проблемы бесконечной энергии вакуума и связь между спином и статистикой имеет естественное объяснение. Здесь естественной элементарной частицей может быть Дираковский синглетон. Как показали Flato and Fronsdal, безмассовая частица (например, фотон) может быть построена из двух синглетонов. И еще один интересный момент, который ставит под сомнение существующее понятие элементарной частицы. Даже для симметрии де Ситтера без конечного кольца или поля (а с ними подавно) масса частицы – не размерная величина, а безразмерная. Если для оценки принять, что радиус мира – величина порядка 1026m, то даже масса электрона будет порядка 1039, т.е., громадная величина. Трудно поверить, что частица с такой массой является элементарной.

Все эти свойства физики над конечной математикой описаны в моих работах. Но я думаю, что рано или поздно фундаментальная квантовая физика будет над конечной математикой не только потому, что такая физика будет лучше, а и потому, что сама конечная математика более фундаментальна чем стандартная непрерывная математика. Как показано в моих работах, даже с чисто математической точки зрения, непрерывная математика – это частный вырожденный случай конечной в формальном пределе, когда характеристика поля или кольца в конечной математике стремится к бесконечности. Почему вырожденный? Как показано в моих работах, любой результат стандартной математики в квантовой теории может быть воспроизведен с любой точностью в конечной математике для всех p больших некоторого значения. С другой стороны, когда мы перешли к пределу p→∞, то все операции по модулю числа потеряны, и стандартная математика не может воспроизвести все результаты конечной математики. Она может воспроизвести только те результаты в которых все числа намного меньше p. Здесь есть аналогия с тем, что нерелятивистская теория является частным вырожденным случаем релятивистской в формальном пределе c→∞: релятивистская теория может воспроизвести все результаты нерелятивист нерелятивистской с любой заданной точностью при каком-то выборе c. С другой стороны, нерелятивисткая теория может воспроизвести только те результаты релятивисткой в которых все скорости намного меньше c.

В разделе 9.5 я отмечал, что стандартная математика имеет проблемы с обоснованием и, несмотря на попытки многих знаменитых людей, эти проблемы не решены. Теоремы Гёделя о неполноте тоже говорят о том, что стандартная математика несамосогласованна. Но если посмотреть на стандартную математику с точки зрения, что она является частным случаем конечной, то проблем нет. С этой точки зрения стандартная математика может рассматриваться только как аппарат, который во многих случаях (но не всех) дает хорошее приближенное описание, поэтому нет нужды такую математику обосновывать т.к. в конечной математике проблем с обоснованием нет.

Подход основанный на конечной математике является более естественным и с точки зрения, что здесь любые утверждения проверяемы, по крайней мере в принципе. Более того, здесь работает принцип, что любое утверждение является правильным или нет, если есть способ это проверить.

Например, мы хотим проверить, утверждение 10+20=30 правильное или нет. Например, хотим проверить это на компьютере или счетах. Любое счетное устройство может вычислять только по модулю какого-то числа p, которое зависит от объема памяти этого устройства. Например, если p=40, то мы действительно получим, что 10+20=30, но если p=25, то мы получим, что 10+20=5. Отсюда ясно, что любые математические операции (даже 2·2=4) проверяемы только если они по модулю какого-то числа. Стандартная математика – идеализируемый частный случай конечной, в формальном пределе, когда p→∞.

Хотя стандартная математика – часть нашей повседневной жизни, но большинство людей не осознает, что в ней есть неявное предположение, что