Апология математики - Владимир Успенский

«Сальвиати. ‹…› Мне пришёл в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращённых к синьору Симпличио, указавшему на затруднения. Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.

Симпличио. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на самого себя; таким образом числа четыре, девять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трёх на самих себя.

Сальвиати. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые, числа носят название сторон или корней; другие числа, не являющиеся произведениями двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь, если я скажу, что количество всех чисел вместе — квадратов и не квадратов — больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным; не так ли?

Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати. Если я теперь спрошу вас, каково число квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень — свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень — более одного квадрата.

Симпличио. Совершенно верно.

Сальвиати. Но если я спрошу, далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что оно равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются все числа. А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как ббольшая часть их не является квадратами».

«Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?» — в растерянности спрашивает еще один участник беседы, Сагредо. Возможны два выхода. Первый состоит в том, чтобы отказаться от сравнения бесконечных количеств по их величине и признать, что в отношении двух таких количеств не следует даже и спрашивать, равны ли они, первое ли больше второго, второе ли больше первого, — и то, и другое бесконечно, и этим всё сказано. Такой выход и предлагает Галилей устами Сальвиати. Но возможен и другой выход. Можно предложить общую схему сравнения любых количеств по их величине. В случае конечных количеств эта схема не будет расходиться с нашими привычками. Для количеств бесконечных она тоже, если вдуматься, не будет им противоречить — хотя бы потому, что каких-либо привычек оперирования с бесконечностями у нас нет. Именно этот второй выход и принят в математике. Забегая вперёд, укажем, что если к квадратам добавить сколько угодно не-квадратов, то полученная расширенная совокупность чисел будет равна по количеству исходной совокупности квадратов (эффект Кортасара). Можно, в частности, добавить все не-квадраты и получить тем самым совокупность всех чисел. Тем самым оказывается, что количество всех чисел действительно равно количеству квадратов — хотя квадраты составляют только часть чисел. Это явление — равенство по количеству совокупности и её собственной части — для конечных совокупностей невозможно, для совокупностей же бесконечных возможно, и сама эта возможность может служить одним из определений бесконечности.

Только что изложенное свойство бесконечных совокупностей не столь трудно для понимания, как это может показаться. И сейчас мы попытаемся его объяснить. Сама логическая конструкция проста, изящна и поучительна. Мы надеемся, что читатель согласится включить её в свой интеллектуальный багаж, причём в качестве носимой с собой ручной клади, а не тяжеловесного предмета, сдаваемого в багажное отделение.

Для начала перестанем избегать термина множество, как это мы делали до сих пор, стыдливо заменяя его синонимом «совокупность». Множество состоит из элементов, которых не обязательно много. (Это в русском языке слова «множество» и «много» однокоренные, а вот английское «set» и французское «ensemble» не несут на себе вводящего в заблуждение оттенка множественности.) Возможны множества, состоящие из одного только элемента, и даже пустое множество, вовсе не имеющее элементов. Зачем же рассматривать такие патологические образования, как пустое множество, спросит читатель. И мы ему ответим: это удобно. Удобно иметь право говорить, например, о множестве слонов в зоопарке города N, не зная заранее, есть ли в этом зоопарке хотя бы один слон. Какое множество ни взять, среди его частей присутствует и пустое множество: так, среди частей множества всех слонов земного шара присутствует не только множество слонов московского зоопарка, но и множество слонов любого зоопарка, слонов не имеющего. Во избежание недоразумений заметим, что пустое множество одно: пустое множество слонов и пустое множество мух представляют собою одно и то же множество. (Совершенно так же, как стакан газированной воды без вишневого сиропа не отличается от стакана газированной воды без апельсинового сиропа; сравнение понятно для тех читателей старших поколений, которые ещё помнят торговлю газировкой на улицах советских городов.)

Учение о сравнении количеств элементов в любых, а не только конечных, множествах целиком принадлежит великому немецкому математику и философу Георгу Кантору (1843–1918). Назвав Кантора немцем, мы всего лишь следовали укоренившейся традиции. Не вполне ясно, как его следует называть. Его отец родился в Дании, мать — в России. Сам он также родился в России, а именно в Санкт-Петербурге; в этом городе он провел первые одиннадцать лет своей жизни, о которых вспоминал с ностальгией. Вот, скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось выше, в главе 2, можно было, не испытывая сомнений, назвать французом: он всегда жил во Франции, ей служил и говорил по-французски; трудно представить, чтобы Ферма ощущал себя кем-то иным, а не французом. Кем ощущал себя Кантор — загадка. Его биографы указывают, что хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.

Выдающийся российский математик Павел Сергеевич Александров (1896–1982) писал: «Думаю, что во второй половине XIX века не существовало математика, оказавшего большее влияние на развитие математической науки, чем создатель абстрактной теории множеств Георг Кантор».

Учение о бесконечном оказалось настолько трудным, что привело его автора к тяжёлой нервной болезни. В 1884 году у Кантора начались приступы депрессии, а с 1897 года он уже не публиковал научных работ. С 1899 года Кантор становится пациентом нервных санаториев, а потом и клиник, проводя в них всё больше и больше времени. В одной из таких клиник он и скончался. Любезному читателю это не грозит, поскольку мы ограничимся началами.

Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после своего осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не должно смущаться тем, что в выражении «равенство количеств» слово «количество» уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, даже вообще можно не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых располагает стадом коз, а другой — стадом овец. Они хотят обменяться своими стадами, но при условии, что стада равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца — ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств.